- •Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
- •Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
- •Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
- •Вопрос 4. Производная обратной функции.
- •Вопрос 5. Определение дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Вопрос 6. Дифференциал. Его геометрический смысл.
- •Вопрос 7. Производная сложной функции.
- •Вопрос 8. Производная высших порядков. Дифференциал высших порядков.
- •Вопрос 9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
- •Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.
- •Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
- •Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)
- •Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •Вопрос 17. Остаточный член в форме Пеано.
- •Вопрос 18. Ряд Тейлора, его сходимость, признак сходимости.
- •Вопрос 19.
- •Экстремум функции. Необходимое условие экстремума непрерывной функции.
- •Вопрос 20. Экстремум функции. Достаточное условие экстремума непрерывной функции.
- •Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.
- •Вопрос 21. Достаточное условие экстремума функции, имеющей n-ную производную.
- •Вопрос 22.
- •Выпуклость и вогнутость прямой. Точки перегиба.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Вопрос 23. Асимптоты функции.
- •Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
- •Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
- •Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
- •Вопрос 27. Интегрирование по частям.
- •Вопрос 28. Интегрирование рациональных дробей.
- •Вопрос 30.
- •Интегрирование тригонометрических функций.
- •Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.
- •Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.
- •Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.
- •Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.
- •Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.
- •Вопрос 36. Свойства определенного интеграла.
- •Вопрос 37. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность.
- •Вопрос 38. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
- •Вопрос 39. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Вопрос 40. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
- •Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
- •Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
- •Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
- •Вопрос 45. Объем тел вращения.
Вопрос 23. Асимптоты функции.
Определение: Прямая называется наклонной асимптотой функции f(x) при , если f определена в окрестности точки и расстояние между графиком и прямой стремится к нулю.
Уравнение наклонной асимптоты:
Пусть - асимптота при
, , ,
, , , значит ,
Замечание: возможен случай, когда k существует, а b – нет, в этом случае асимптот нет!
Вопрос 24. Первообразная. Теорема о первообразной.
Определение 1: Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x).
Замечание: Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b] и [a,b), но нужно будет говорить про односторонние производные: =f(a), и =f(b).
Пример
.
на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).
Теорема:(О множестве всех первообразных).
Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа.
Доказательство:
Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G – первообразные функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу). Тогда (F-G)΄=0 F-G=C (по теореме о функции, имеющей нулевую производную).
Теорема доказана.
Свойства первообразных.
1. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет первообразную G(x) на промежутке I, тогда функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную F(x)±G(x) на промежутке I.
2. Первообразной функции k·f(x) является функция k·F(x).
Первообразной производной функции f΄(x) является сама функция f(x).
Вопрос 25. Неопределенный интеграл. Его свойства.
Определение 1: Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то .
Пример:
.
Свойства неопределенного интеграла.
1. .
Замечание: Обратное неверно! Из существования интеграла не следует существование интегралов и .
.
2. .
3. (по определению).
Вопрос 26. Метод внесения под знак дифференциала. Метод подстановки.
Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):
Пусть функция является первообразной для функции на некотором промежутке и функция непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке , причем для всякого значения выполняется неравенство . Тогда будет справедлива формула:
(*),
где .
Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если - первообразная функции , то . Такой прием называют внесением под знак дифференциала.
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки) (1).
В этой формуле предполагается, что есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале изменения , а - непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси . Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от . Ее производная по равна:
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку , то получится первообразная от функции . Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от . Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную . Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать:
Пример: .