Вопрос 41. Интегрирование по частям определенного интеграла.
Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы для определённого интеграла:
Предполагается,
что нахождение интеграла 
проще,
чем 
.
В противном случае применение метода
не оправданно.
Пример:
Вопрос 42. Теорема о среднем для определенного интеграла.
Теорема о среднем
Пусть
интегрируемы
на
,
причем
на данном промежутке, тогда
,
где
,
и
Замечание: sup и inf существуют, т.к. функция на данном промежутке интегрируема, а значит ограничена.
Доказательство:
Запишем
неравенство:
и домножим его на
:
;
тогда по теореме о неравенствах это
неравенство сохранится и в интегралах:
(
)
Если
,
то и интеграл
и неравенство (
)
выполняется.
Если
,
тогда по теореме о неравенствах
,
значит можно неравенство (
)
на него разделить:
и
принимаем за
.
Теорема доказана.
Вопрос 43. Непрерывная и гладкая прямая, заданная параметрически. Длина этой кривой.
Пусть l —
гладкая, спрямляемая кривая, заданная
параметрически (
—
касательный вектор кривой l. Пусть
также функция 
и
вектор-функция 
определены
и интегрируемы вдоль кривой l в
смысле криволинейного интеграла второго
рода. Тогда
Вопрос 44. Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат.
П
усть
множество задано в полярных координатах:
x=r·cost,
y=r·sint.
Рассмотрим множество A,
такое, что α≤t≤β
и 0≤r≤r(t).
Введем разбиение угла [α,β]:
α=t0<t1<t2<…<tn=β.
При этом Δti=[ti
,ti+1].
Рассмотрим сектора окружностей ri=mi
– это будут сектора
и ri=Mi
– это будут сектора
.
и
.
Окружности (с углом 2π) соответствует
площадь πR2,
а сектору с углом α – площадь αR2/2.
Поэтому
и
.
и
-
нижняя и верхняя суммы Дарбý для функции
f=r2/2.
Получим
и
.
То есть площадь S(A)
существует и равна S
(т.е. A квадрируема)
тогда и только тогда, когда существует
интеграл
.
Вопрос 45. Объем тел вращения.
Рассмотрим вращение произвольное тело вращения.
Пусть
-
есть произвольная непрерывная функция,
причем
на отрезке
.
Будем вращать данную кривую на отрезке
вокруг оси
.
Получим тело вращения
.
Разобьем
отрезок
:
.
Пусть
,
.
Рассмотрим два цилиндра
и
(см.
рис. )
,
.
Теперь пусть
и
.
Нетрудно видеть , что
и
.
Это означает, что если функция
интегрируема на отрезке
,
то
и
.
При вращении вокруг оси
формула примет вид
.
Пример: Рассмотрим вычисление объема тела вращения на примере шара:
.
Значит объем шара равен:
.