Правило Лопиталя. Случай .

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем теперь предел отношения к :

[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, ( ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

Раскрытие неопределенностей вида , , , , .

Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями.

1. Неопределенность ( при ).

Ясно, что или .

2. Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .

Согласно определению этой функции . , то .

3. Неопределенность ( , , при )

Легко видеть, что .

Вопрос 15. Разложение многочлена по степеням (х-а)

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

(1)

Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим

(2)

Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .

Подставим в выражение (2) , получим

(3)

Найдем последовательные производные и подставим в ним

Таким образом, многочлен может быть представлен в виде

или

Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .

Вопрос 16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке а, то для нее существует многочлен - это многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке a. Обозначим за - на сколько многочлен отличается от самой функции. называют остаточным членом. Нужно доказать, что для «хороших» функций будет достаточно мало. Докажем теорему, которую сформулируем в конце. =))

Рассмотрим функцию f; зафиксируем точку a, в которой будем раскладывать функцию, и произвольную точку x, такую что f(x) n-1 раз дифференцируема на [a,x] и n раз дифференцируема на (a,x). В точке а функция дифференцируема n-1 раз, значит для нее можно составить многочлен Тейлора n-1 порядка.

Представим в виде: , где р – произвольное число, H – некоторая функция, зависящая от x.

Рассмотрим функцию :

Рассмотрим F(u) на [a,x]: F(u) непрерывная на [a,x], дифференцируема на (a,x), F(x)=F(a) по теореме Ролля

; продифференцируем:

- и почти все взаимно уничтожается.

, тогда

; Подставим теперь p:=n;

- это остаточный член в форме Лагранжа.