Вопрос 10. Теорема Ферма. Ее геометрический смысл.

Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .

Доказательство:

Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.

, т.е. – не точка экстремума.

Аналогично невозможен случай , следовательно .

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка  , в которой касательная параллельна оси Ox.

Вопрос 11 Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.

Теорема:

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Доказательство:

Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x₁, в которой f достигает максимума и точка x₂, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:

1. Обе точки x₁ и x₂ совпадают с a или b, тогда

И тогда производная

2. Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Контрпример 1

Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.

Контрпример 2

Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции существует точка касательная в которой параллельна оси x.

Вопрос 13. Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

(1),

причем .

Доказательство:

В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .

Из теоремы Коши: теорема доказана.

Физический смысл:

Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)

Г еометрический смысл:

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

Она верна, очевидно, не только для , но и для .

Вопрос 14. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,

в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то

Доказательство:

1) a – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример: