Вопрос 31. Интегральная сумма, ее предел. Определение определенного интеграла.

Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиение R: .

Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек .

Если существует предел при интегральных сумм , и он не зависит от R и , то он называется определенным интегралом

Вопрос 32. Необходимое условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы функция  f(x), определённая на отрезке  [a,b], была интегрируема на нём, необходимо, чтобы она была ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Предположим, что  f(x) не ограничена на отрезке  [a,b]. Тогда для каждого разбиения найдётся хотя бы один отрезок  [xk−1,xk], на котором функция окажется неограниченной. Но тогда в интегральной сумме хотя бы одно слагаемое  Δxkf(ξk) будет произвольно большим, и тогда последовательность интегральных сумм сходящейся быть не может. Значит, функция не интегрируема, что противоречит предполагаемому.

Вопрос 33. Суммы Дарбу. Их свойства.

Определение:

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка.

R: , .

Тогда можем составить выражения:

- нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу.

, .

Свойства сумм Дарбу:

1) , для одного и того же разбиения.

2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками .

Д обавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки.

, ,

,

,

Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем:

, , , .

3) , ,

,

=> , т.е. .

- нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). .

- верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). .

.

Вопрос 34. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции.

Теорема:

Функция интегрируема на отрезке тогда и только тогда, когда .

Доказательство:

Докажем необходимость условия:

Функция интегрируема на отрезке .

Пусть , тогда , т.е. .

т.е. и .

Далее имеем: , т.е. .

Необходимость доказана.

Докажем достаточность условия:

.

.

.

Докажем, что .

,

,

, тогда , т.е. ,

.

Достаточность доказана.

Вопрос 35. Достаточное условие интегрируемости функции.

Теорема 1:

Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Доказательство:

Пусть непрерывна на ; тогда для разбиения R, у которого частичные отрезки , имеет место ( ).

где есть модуль непрерывности на .

Поэтому

.

Но, как мы знаем, для непрерывной на замкнутом конечном отрезке функции , поэтому для любого можно указать такое , что .

В силу основной теоремы интеграл на существует.

Теорема доказана.