Вопрос 1. Определение производной, ее геометрический смысл.
Определение:
Производной от функции
в точке
называется предел, к которому стремится
отношение ее приращения
в этой точке к соответствующему приращению
аргумента, когда последнее стремится
к нулю:
Т.е.,
если
определена в
,
то
Теорема 1:
График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.
Доказательство:
Пусть
существует значение f’(
)-конечное,
тогда
при
Секущая стремится к касательной.
=>
ч.т.д.
Пусть
существует невертикальная касательная
=> существует
- конечный.
Секущая стремится к касательной.
=>
Теорема доказана.
Вопрос 2. Непрерывность функции, имеющей производную.
Теорема: (необходимое условие существования производной)
Если
функция
имеет конечную
в точке
,
то
непрерывна в точке
.
Доказательство:
При
,
Следовательно - непрерывна в точке .
Теорема доказана.
Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке ,
то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке
Контрпример:
Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева.
Контрпример:
Вопрос 3. Производная суммы, произведения, частного.
Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x0, тогда справедливы равенства:
где
k
– константа
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.
2.
Заметим,
что функция f
, как имеющая производную, непрерывна,
и потому при
3.
Вопрос 4. Производная обратной функции.
Определение:
Пусть на интервале (a,b)
задана непрерывная строго монотонная,
т.е. строго возрастающая или строго
убывающая, функция
.
Пусть образ (a,b)
есть интервал (A,B).
тогда обратная к
функция
есть однозначная непрерывная и строго
монотонная на (A,B)
функция.
Зафиксируем
и дадим ему приращение
Тогда
получит соответствующее приращение
Наоборот,
Вследствие
непрерывности прямой и обратной функций
для указанных
имеет место утверждение: из
следует
,
и обратно.
Пусть
теперь функция
в точке у имеет неравную нулю производную
.
Покажем, что в таком случае функция
также имеет в соответствующей точке х
производную. В самом деле,
Так как из того, что следует, что , то
Этим
доказано, что если
есть строго монотонная непрерывная
функция и
обратная к ней функция, имеющая в точке
у производную
,
то функция
имеет в соответствующей точке х
производную, определяемую формулой
(1).
Может
случится, что в точке
В этом случае, очевидно, функция
имеет в соответствующей точке х
производную
.
Если
же
,
то для строго возрастающей функции при
этом
,
а для строго убывающей
.
В первом случае
,
а во втором
.
Пример 1.
Если логарифм натуральный, то
.
Функция ln x как действительная функция определена только для положительных значений х.
Пример 2.
где
Пример 3.
