31) Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода, если в этой точке

1)Существуют левосторонний предел и правосторонний предел.

2)Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

1)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

2)Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва.

Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода, если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

1. 32 Понятие производной и правила ее нахождения. Геометрический смысл.

.

Производная функции f(x) в точке х₀ называется придел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к 0, при условии что придел существует.

Функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.

Операция нахождения производной называется диференцированием.

Производная функции y=f(x) в точке х₀ представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке (х₀;f(x₀)) ;

f’(x₀)=tg a,

Где a- угол наклона косательной к оси 0х. В этом состоит геометрический смысл производной.

Уравнением касательной проведенной к графику функции в точке М₀(х₀;у₀),где у₀=f(x₀), имеет вид:

Y=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀).

Нормалью называется прямая проходящая через точку М₀(х₀;у₀) графика функции у=f(x) перпендикулярно касательной, проведенной в этой точке. Её уравнение имеет вид:

y= - * (x-x₀) + f(x₀), где f’(x₀) ≠ 0

33. Производные высших порядков функций, заданных параметрически или неявно.

Параметрически:

следовательно и т.д.

Неявно:

F(x;y)=0

, в данное выражение вместо y’ необходимо подставить заданное выражение.

Аналогично находятся производные более высокого порядка.

34. Понятие дифференциала первого порядка.

Допустим, что f(x) имеет производную 1-го порядка на некотором промежутке х, следовательно для нее существует конечный предел 1) . По свойству пределов получаем 2)

Равенство 2) выполняется для каждого фиксированного x из рассматриваемого множества x. Равенство 2) можно записать в виде: 3) . Последнее слагаемое в равенстве 3) стремится к 0 при быстрее, чем первое слагаемое правой части. Первое слагаемое правой части называется главной частью приращения функции.

Определение: Главная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается: 4) Замечание: Если в качестве функции f(x) принять x, тогда равенство 4) примет вид: 5)

За дифференциал аргумента (независимую переменную) принимается приращение аргумента. Тогда равенство 4) примет вид: 6) Замечание: В формуле 6) выразим производную Формула 6) принимается за окончательное определение дифференциала функции.

Рассмотрим формулы 3) и 4):

4) следовательно 7) . Данная формула дает возможность вычислит приближенное значение в точке x₀.

Используя определение приращения в этой точке и определение дифференциала в этой точке, получим:

Замечание: Чем меньше значение приращения ∆x, тем точнее данное приближение.