- •Понятие матрицы. Виды матриц.
- •Линейные операции над матрицами.
- •Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлены от матриц.
- •Элементарные преобразования матрицы, сведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Понятие обратной матрицы. Построение обратной матрицы.
- •Понятие системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Понятие вектора в пространстве. Линейные операции над векторами.
- •Проекция вектора.
- •Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
- •Декартова система координат.
- •3. Базис системы векторов.
- •15.Векторное произведение.
- •16. Смешанное произведение векторов.
- •17. Понятие поверхности второго порядка. Метод параллельных сечений.
- •Цилиндрические и конические поверхности.
- •19.Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.
- •20.Уравнения плоскости в пространстве.
- •22 Уравнения прямой в пространстве.
- •23 Основные задачи на прямую в пространстве
- •24 Прямые и плоскости в пространстве
- •25. Предел функции в точке и на бесконечности.
- •26. Свойство функции, имеющих придел.
- •27.Замечательные пределы
- •28 .Бесконечно малые функции. Эквивалентность бесконечно малых функций. Бесконечно малые ф-ции
- •Эквивалентность бесконечно малых функций
- •29. Односторонние пределы.
- •30. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.
- •31) Классификация точек разрыва функции
- •32 Понятие производной и правила ее нахождения. Геометрический смысл.
- •33. Производные высших порядков функций, заданных параметрически или неявно.
- •34. Понятие дифференциала первого порядка.
- •Геометрический смысл дифференциала первого порядка.
- •Дифференциалы высшего порядка.
- •37. Необходимые и достаточные условия монотонности и экстремума функции.
- •38. Выпуклость, вогнутость графика. Точки перегиба функции.
- •39.Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
- •40. Исследование функции и построение графика.
- •41.Основные понятия функции многих переменных
- •42. Предел функции двух переменных
- •43. Непрерывность функции двух переменных
- •44. Частные производные двух переменных и их геометрический смысл.
- •45. Дифференцируемость и полный дифференциал функции.
- •46. Производная сложной функции. Полная производная.
- •47.Дифференцирование неявной функции.
- •48.Частные производные высших порядков
- •48 Дифференциалы высших порядков
Понятие матрицы. Виды матриц.
Матрица – прямоугольная таблица чисел. Она обозначается большими буквами (А, В, Х), размер матрицы m на n, где m – количество строк в матрице; n – количество столбцов в матрице.
Виды матриц:
Матрица размера 1 на n – вектор-строка.
Матрица размера m на 1 – вектор-столбец.
Матрица, у которой m=n, называется квадратной. размер квадратной матрицы называется её порядком и обозначается n.
Прямоугольная матрица m на n.
Трапециевидные матрицы:
Квадратные матрицы
Линейные операции над матрицами.
Действие над матрицей: понятие =, + и – вводятся только для матриц одинакового размера.
А=В, при любом aij=bij
A+B=
Свойство сложения матриц:
A+B=B+A – коммутативность
(А+В)+С=А+(В+С) – ассоциативность
Для любых матриц А и В одинакового размера, существует единственная матрица Х, такая, что А+Х=В
Уравнение А+Х=0 имеет единственное решение Х= –А
Матрица –А называет противоположной к матрице А.
Свойство умножения матрицы на число:
0*А=0ij
(–1)*A= –A
Умножение матриц. Натуральная степень матрицы. Многочлены от матриц.
Произведение 2 матриц возможна только тогда, когда количество столбцов А = количеству строк В. В результате получается матрица С.
Am*k*Bk*n=Cm*n
с11= а11 * b11 + a12 * b12 + … + a1k * bk1
с21= а21 * b21 + a22 * b22 + … + a2k * bk2
Если А*В=В*А, то матрицы называются перестановочными или коммутативными.
Свойства произведения матриц:
произведение матриц анти коммутативно.
Еn*An*m = Am*n*En = Am*n
0*A=A*0=0
(A*B)*C=A*(B*C)
(A+B)*C=A*C+B*C
(A*B)T=BT*AT
Выражения Р(А) = аn*An + an-1*An-1 + a*E называется многочленом от матрицы А, если Р(А)=0, то она является корнем многочлена. Целой положительной степенью матрицы А называется произведение n матриц, каждое из которых равно А. Нулевой степенью матрицы А, является Е такого же порядка, как и матрица А.
Замечание:
Матрица А – квадратная порядка n.
Ank = An* An* An*… An (k – раз)
An0 = En
Элементарные преобразования матрицы, сведение матрицы к треугольному или трапециевидному виду.
Элементарные преобразования:
Перестановка 2 параллельных рядов матрицы.
Умножение всех элементов ряда на число
Прибавление ко всем элементам ряда, соответственно элемента параллельного ряда, умноженное на одно и тоже число.
Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований .
С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к треугольному, трапециевидному и к каноническому виду.
Канонический вид – в начале главной диагонали стоит 1, а остальные элементы равны 0.
Частный случай канонической матрицы – единичные Е:
Треугольный вид: