- •Глава I. Линейное программирование.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •Различные формы задачи лп
- •Определение 3. Каноническая задача лп называется симплексной, если:
- •Связь между различными типами задачи лп.
- •Вначале сведём общую задачу к однородной. В соответствии с определением 1 п.1.3 для этого достаточно каждое ограничение вида равенства:
- •1.5. Графический метод решения задачи лп.
- •1.6. Выпуклые множества на плоскости и в пространстве.
- •1.7. Геометрическая интерпретация однородной задачи линейного программирования.
- •1.8. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- •1.8.1. Пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом.
- •Алгоритм симплекс-метода.
- •1.9. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.
- •1.10. Основные теоремы.
- •1.11. Методы получения 1-го опорного решения.
- •1.12. Пара симметричных двойственных задач.
- •1.13. Правила перехода к двойственной задаче.
- •1.14. Теоремы двойственности.
- •1.15. Экономический смысл двойственных оценок. Методы нахождения двойственных оценок.
- •1.16. Условие устойчивости двойственных оценок.
- •Глава II. Транспортная задача
- •2.1. Замкнутая модель транспортной задачи.
- •2.2. Другие модели транспортной задачи.
- •Глава III. Игровые методы и модели.
- •3.1. Понятие об игровых моделях.
- •3.2. Постановка игровых задач.
- •3.3. Методы и модели решения игровых задач. Принцип минимакса.
- •3.4. Решения игр в смешанных стратегиях.
- •3.5. Геометрический метод.
- •3.6. Метод линейного программирования.
- •3.7. Игровые модели в условиях коммерческого риска.
- •3.8. Игровые модели в условиях коммерческой неопределенности.
- •Контрольные вопросы.
1.8. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
1.8.1. Пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом.
Рассмотрим однородную задачу ЛП из примера №1 п. 1.5.:
(1)
Добавив к левым частям системы неравенств соответствующие балансовые переменные преобразуем задачу (1) в каноническую форму:
(2)
Для удобства и единообразия запишем определение целевой функции в виде уравнения:
(3)
Запишем (2) и (3) в виде первой симплекс таблицы:
-
0
1
1
1
0
0
8
0
- 2
3
0
1
0
9
(4)
0
2
- 1
0
0
1
10
1
- 4
- 3
0
0
0
- 1
Первые три строки таблицы (4) содержат по сути расширенную матрицу системы линейных уравнений (2), к которой слева приписан столбец переменной . Последняя строка, называемая индексной, содержит уравнение (3). Буквой , как обычно, обозначен столбец свободных членов. Отметим, что таким образом составленная таблица (4) называется симплексной, поскольку задача (2) имеет симплексную форму. Напомним, что это означает, что во-первых, матрица системы (и таблица (4)) содержат т базисных столбцов (столбцы ), где т - число уравнений (в данном случае ); во-вторых, все элементы столбца свободных членов неотрицательны (это числа 8, 9 и 10), кроме, возможно, элемента индексной строки; в- третьих, целевая функция зависит только от свободных переменных ( и ). Последнее верно, поскольку в базисных столбцах ( ) в индексной строке находятся только нули. Первая симплекс-таблица (4) определяет первое опорное решение. Напомним, что опорное решение является допустимым базисным решением, и, следовательно, свободные переменные и равны нулю: и .
Далее, переменная определяется первой строкой таблицы (4), которая является сокращённой записью первого уравнения системы (2). При оно принимает вид:
Вторая строка таблицы определяет переменную
Третья строка определяет :
Значение целевой функции определяем по индексной строке:
В дальнейшем мы покажем, что оптимальное решение канонической задачи ЛП является опорным, и, следовательно, его следует искать среди опорных решений. Симплекс-таблица (4) и дает одно из таких решений. Как проверить, является ли оно оптимальным? Оказывается, просто. Как мы увидим далее, если коэффициенты целевой функции канонической задачи ЛП неположительные: ,- и функция зависит только от свободных переменных, то соответствующее опорное решение является оптимальным.
Но условие означает, что коэффициенты индексной строки, стоящие в столбцах свободных переменных, должны быть неотрицательны: поскольку индексная строка соответствует уравнению: , - и содержит коэффициенты с противоположным знаком.
Мы видим, что в таблице (4) условие неотрицательности всех элементов индексной строки (разумеется, кроме правой части , стоящей в столбце свободных членов) не выполнено. Более того, оба столбца свободных переменных и содержат в индексной строке отрицательные элементы: - 4 и -3, - соответственно.
Выберем любой из этих столбцов, например, первый и назовем его ведущим. Определим для каждого так называемое допустимое отношение следующим образом. Если в - ой строке ведущего столбца стоит неположительный элемент, то положим если же этот элемент то положим
,
где - номер ведущего столбца.
В нашем случае и допустимые отношения соответственно равны:
Добавим к симплекс-таблице (4) столбец :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
8 |
|
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
|
(5) |
0 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
5 |
|
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
|
|
В таблице (5) отрицательный элемент – 4 ведущего столбца взят в рамочку, для того чтобы выделить ведущий столбец. Можно, разумеется, выделить этот столбец и любым другим разумным образом: цветом, шрифтом и т.п.
Среди всех допустимых отношений найдем наименьшее: .
Наименьшее допустимое отношение соответствует третьей строке таблицы, которую мы теперь объявляем ведущей строкой. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца стоит ключевой элемент таблицы. В нашем случае это Выделим в таблице (5) минимальное допустимое отношение и ключевой элемент, рамочкой:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
8 |
|
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
|
(6) |
0 |
2 |
- 1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
5 = |
|
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
|
|
Дальнейшая наша цель состоит в том, чтобы преобразовать методом Гаусса таблицу (6) в новую симплекс-таблицу, первый столбец который стал бы базисным, содержащим число 1 в ведущей (третьей) строке.
Вначале разделим ведущую строку на ключевой элемент:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
8 |
|
|
|
0 |
- 2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
9 |
|
(7) |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
5 |
|
|
|
1 |
- 4 |
- 3 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
|
|
В таблице (7) мы не заполняем столбец , поскольку он нужен, только для того, чтобы определить ведущую строку, что мы уже сделали. Мы выделили только ключевой элемент, так как он определяет одновременно и ведущую строку (третью) и ведущий столбец (первый).
Проделаем теперь следующие преобразования Гаусса:
вычтем из первой строки ведущую (третью) строку;
прибавим ко второй строке ведущую, умноженную на 2;
прибавим к индексной строке ведущую, умноженную на 4.
В итоге получим новую таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
|
(8) |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
5 |
|
|
|
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 |
|
|
Нетрудно видеть, что мы получили симплекс-таблицу. Действительно, в таблице (8) после перестановки столбца со столбцом в последних трех столбцах получается единичная матрица; столбец свободных членов неотрицателен; целевая функция зависит только от свободных переменных и
Отметим, что столбец , став базисным, вытеснил «из базиса» столбец . В силу этого обстоятельства проделанный процесс называют операцией однократного замещения. В данном случае эта операция состояла из последовательности элементарных преобразований Гаусса 1), 2) и 3).
Таким образом, получена вторая симплекс-таблица (8), которой соответствует второе опорное решение. Переменные и - свободные и, следовательно, и . Поскольку первое уравнение имеет вид.
то значение базисной переменной равно 3: . Базисная переменная определяется вторым уравнением:
а базисная переменная определяется третьим уравнением (так как в столбце единица стоит в третьей строке):
Итак, , - второе опорное решение. Новое значение целевой функции определяется индексной строкой:
Это опорное решение также не является оптимальным, что следует из того, что в индексной строке таблицы (8) имеется отрицательный элемент (-5) во втором столбце, который мы выберем теперь в качестве ведущего столбца. Затем найдем ведущую строку с минимальным допустимым отношением и ключевой элемент:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
3 |
2 |
|
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
9,5 |
(9) |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
5 |
|
|
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 |
|
|
Разделим ведущую строку (первую) на ключевой элемент :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
19 |
(10) |
|
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
5 |
|
|
1 |
0 |
- 5 |
0 |
0 |
2 |
19 |
|
Выполним теперь следующие преобразования Гаусса:
вычтем из второй строки первую, умноженную на 2;
прибавим к третьей строке первую, умноженную на ;
прибавим к индексной строке первую, умноженную на 5. В результате получим третью симплекс-таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
15 |
(11) |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
6 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
29 |
|
Ей соответствует третье опорное решение:
- и значение целевой функции .
Поскольку индексная строка таблицы (11) не содержит отрицательных элементов, полученное опорное решение будет оптимальным: и (12) При этом Здесь мы звездочками помечаем оптимальные значения переменных.
Таким образом, задача (2) и с ней задача (1) решены.