![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Линейное программирование.
- •Примеры задач линейного программирования.
- •Различные формы задачи лп
- •Определение 3. Каноническая задача лп называется симплексной, если:
- •Связь между различными типами задачи лп.
- •Вначале сведём общую задачу к однородной. В соответствии с определением 1 п.1.3 для этого достаточно каждое ограничение вида равенства:
- •1.5. Графический метод решения задачи лп.
- •1.6. Выпуклые множества на плоскости и в пространстве.
- •1.7. Геометрическая интерпретация однородной задачи линейного программирования.
- •1.8. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.
- •1.8.1. Пример решения задачи линейного программирования симплекс-методом.
- •Алгоритм симплекс-метода.
- •1.9. Геометрическая интерпретация симплекс-метода.
- •1.10. Основные теоремы.
- •1.11. Методы получения 1-го опорного решения.
- •1.12. Пара симметричных двойственных задач.
- •1.13. Правила перехода к двойственной задаче.
- •1.14. Теоремы двойственности.
- •1.15. Экономический смысл двойственных оценок. Методы нахождения двойственных оценок.
- •1.16. Условие устойчивости двойственных оценок.
- •Глава II. Транспортная задача
- •2.1. Замкнутая модель транспортной задачи.
- •2.2. Другие модели транспортной задачи.
- •Глава III. Игровые методы и модели.
- •3.1. Понятие об игровых моделях.
- •3.2. Постановка игровых задач.
- •3.3. Методы и модели решения игровых задач. Принцип минимакса.
- •3.4. Решения игр в смешанных стратегиях.
- •3.5. Геометрический метод.
- •3.6. Метод линейного программирования.
- •3.7. Игровые модели в условиях коммерческого риска.
- •3.8. Игровые модели в условиях коммерческой неопределенности.
- •Контрольные вопросы.
1.6. Выпуклые множества на плоскости и в пространстве.
Определение
1.
Множество А
Rn
называется выпуклым, если с любыми
своими двумя точками
А
оно содержит целиком отрезок
их
соединяющий:
А
А.
(1)
Пусть
два вектора на плоскости х
О у и
пусть точка
лежит на отрезке
.
Тогда вектор
колинеарен вектору
,
направлен в одну сторону с ним и не
превосходит его по длине. Эти условия
могут быть записаны в виде равенства:
,
(2)
где
Векторное равенство (2) равносильно системе:
(3)
Система (3) может быть преобразована в равносильную систему:
(4)
где
Обозначим
Тогда (4) примет вид:
(5)
где
В векторном виде система (5) примет вид:
где
(6)
Определение
2.
Выпуклой (линейной) комбинацией векторов
называется выражение вида:
где все
и
Равенство (6)
показывает, что каждая точка
отрезка
является выпуклой комбинацией векторов
Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.
Доказательство.
Пусть
-
любое семейство выпуклых множеств.
Пусть А
– их пересечение:
Покажем, что
множество А – выпукло. Пусть
Тогда
для каждого
,
поскольку А
– пересечение всех
.
Так как
- выпукло, то вместе с точками
оно содержит и соединяющий их отрезок:
для всех Аi.
Но,
отсюда, очевидно, следует, что каждая
точка отрезка
(а значит и сам отрезок) принадлежит
пересечению множеств
,
то есть множеству А.
Итак, А
– выпуклое множество. Что и требовалось
доказать.
Определение
3. Выпуклой
оболочкой множества
называется
такое выпуклое множество
,
что:
,
- выпукло
.
Лемма 1. Выпуклая оболочка множества А совпадает с пересечением всех выпуклых множеств, содержащих А.
Доказательство. Пусть В0 – пересечение всех выпуклых множеств, содержащих А. Тогда очевидно В0, содержит А. С другой стороны по теореме 1 множество В0 само выпукло. Отсюда следует, что В0= VA, поскольку выполнены свойства 1) и 2).
Лемма 2. Отрезок является выпуклой оболочкой своих концов .
Доказательство.
Пусть
,
то есть множество А
состоит из двух элементов
.
Отрезок
является выпуклым множеством и содержит
А.
С другой стороны каждое выпуклое
множество В,
содержащее А,
содержит по определению выпуклости и
весь отрезок
.
Тем самым показано, что
ч т.д.
Лемма 3.
Если выпуклое множество
содержит векторы
,
то оно содержит и любую их выпуклую
комбинацию:
где
Доказательство.
Докажем это по индукции. Для двух точек
утверждение леммы практически было
доказано выше, поскольку множество
выпуклых комбинаций
совпадает
с отрезком
и, следовательно, содержится в В.
Пусть утверждение справедливо для всех
.
Покажем, что оно будет также справедливым
и для
.
Пусть
где
Пусть
и
.
Тогда
и
где
По предположению индукции
Так как
и
то
.
Лемма доказана.
Теорема 2.
Выпуклая оболочка VA
множества А
Rn
совпадает с множеством всех выпуклых
комбинаций, состоящих из конечного
числа векторов множества А.
Доказательство: Пусть В0 – множество всех таких комбинаций векторов множества А. Как следует из леммы 3 множество В0 содержится в любом выпуклом множестве В, содержащем А. Осталось показать, что само В0 – выпукло.
Пусть
- два вектора множества В0.
Тогда
,
,
,
.
Пусть -
где
и
Достаточно показать, что
,
то есть что вектор
сам является выпуклой комбинацией
векторов из А0.
Но это
верно, поскольку:
- выпуклая комбинация
векторов
- так как
и
ч.т.д.
Отметим, что треугольник и пирамида являются выпуклыми оболочками своих вершин, и, следовательно, каждая их точка является выпуклой комбинацией векторов-вершин.
Определение.
Выпуклая оболочка
точки в
- мерном линейном пространстве
называется
симплексом.
Предполагается, что точки лежат в общем положении, то есть не содержатся ни в какой гиперплоскости.
Рассмотрим некоторую
точку
Возможны следующие случаи расположения
точки
относительно множества В.
Первый случай.
На каждой прямой l
, проходящей
через
,
можно найти отрезок
,
лежащий целиком в В
и содержащий
внутри себя:
. (7)
Второй
случай. Существует содержащая
прямая
,
на которой не существует отрезка
,
удовлетворяющего (7).
Если
то ясно, что свойством (7) не обладает ни
один отрезок
.
Если для некоторых прямых проходящих
через точку
отрезок удовлетворяющий (7), существует,
а для других прямых нет, то
называется граничной точкой множества
В.
Вблизи граничной точки
лежат как точки множества В, так и точки
ему не принадлежащие.
Третий случай.
Определение.
Пусть точка
и ни для одной прямой l
содержащей
,
не существует отрезка
,
удовлетворяющего (7). В этом случае
называется угловой точкой множества
В.
Другими словами любой отрезок, содержащий угловую точку внутри себя, обязательно «высовывается» из множества В.
Замечание.
Условие 2) Из (7)
можно заменить в предыдущих рассуждениях
на условие:
,
- то есть можно считать, без ограничения
общности, что точка
является серединой отрезка
,
действительно, если существует отрезок,
содержащий
внутри себя, то существует в нем меньший
отрезок, для которого точка
является серединой.
Определение.
Множество
называется
замкнутым, если оно содержит все свои
граничные точки.
Значение угловых
точек для описания выпуклого множества
в
дает следующая теорема, которую мы
приводим без доказательства.
Теорема 3. Замкнутое выпуклое множество является выпуклой оболочкой своих угловых точек.