29 Частные произв и дифф ф-ции неск переменн. Необх и дост усл дифф.
ШВАРЦ:
Частные произв высшего порядка непрерывны,
то смешанные производные одного порядка,
отличаюшиеся лишь порядком дифференцирования,
равны меж собой. В частности для z=f(x;y)
имеем:
=
Необх
усл дифф ф-ции.
Если ф-ция z=f(x;y)
дифф в точке M(x;y)
то она непрер в этой точке, имеет в ней
частные произв
и
причем
=А ,
= B
Дост усл если ф-ция z=f(x;y) имеет непрер частные произв z’x и x’y в точке M(x;y) то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифф выражается формулой dz=dxz+dyz
31
произв сложной ф-ции. Полная произв если
z=f(x;y)
– дифф в точке M(x;y)ϵ
D
ф-ция и х=х(t)
и y=y(t)
– диффиринцируемые ф-ции независимой
переменной t
то произв сложной ф=ции z(t)=f(x(t);y(t))
вычисл по формуле
=
33
экстремум ф-ции 2 переменн точка
(х0;у0)
наз точкой максимума ф-ции z=f(x;y)
если существует δ-окресность точки
(х0;у0)
из этой окресности вып неравенство
f(x;y)<f(x0;y0)
и для точки минимума f(x;y)<f(x0;y0)
необх усл
экстремума
если в точке N(x0;y0)
диффиринцируемая ф-ция z=f(x;y)
имеет экстремум, то ее частные производные
в этой точке равны 0 f’x(x0;y0)=0
f’y(x0;y0)=0
достаточное
усл пусть в
стационарной точке (x0;y0)
и некоторйо ее окресности ф-ция f(x;y)
имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно. Вычислим
в точке (x0;y0)
значения A=f’’xx(x0;y0)
B=f’’xy(x0;y0)
C’’yy(x0;y0)
обозначим
=AC-B2
тогда: 1) если
то ф-ция f(x;y)
в точке (x0;y0)
имеет экстремум: максимум если A<0
и минимум если A>0
2) если
то ф-ция f(x;y)
в точке (x0;y0)
экстремума не имеет 3) если
экстремум в точке (x0;y0)
может быть, может не быть. Необходимы
доп исследования.