20 Теоремы ферма.Роля их геом смысл
Пусть
функция f(x) непрерывна на [a,b] и
дифференцируема на (a,b) , f(a) = f(b). Тогда
внутри отрезка существует по крайней
мере одна точка ,
такая, что f()
= 0.
Геометрический смысл этой теоремы по
теореме Ролля существует хотя бы одна
точка, в которой касательная к графику
функции будет параллельна оси абсцисс,
в этой точке производная равна нулю.
(Ферма)
Пусть
функция f(x)
имеет на множестве E
точку экстремума x0ϵE,
причём множество E
содержит некоторую
-окрестность
точки
x0.
Тогда либо f(x)
имеет в точке x0производную,
равную 0, то есть f’(x0)=0,
либо производная в точке x0
не существует.
Замечание
5.1
Заметим, что условие
f’(x0)=0,
означает, что tg
a
наклона
касательной к графику y=f(x),
проведённой при x=x0,
равен 0. Отсюда a=0,
то есть теорема Ферма утверждает, что
касательная, проведённая в точке
экстремума, горизонтальна (если эта
касательная существует). 
21Теорема лагранжа геом смыл. Теорема коши
Лагранж: если ф-ция f(x) непрерывна на [a;b],дифференцируема на (a;b) ир найдется хотя б одна cϵ(a;b) такая что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) геом смысл: на графике ф-ции y-f(x) найдется точка С(c;f(c)) в оторой касательн к графику ф-ции паралельна секущей С1:если производная ф-ции =0 на некотором промежутке то ф-ция постоянна на етом промежутке С2:если 2 ф-ции имеют равные производные на неотором промежутке то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое
Коши: если ф-ции f(x) и g(x) непрерывна на [a;b],дифференц на (a;b) причем g(x) 0 для хϵ(a;b) то найдется хотя бы одна точка сϵ (a;b) такая что : (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)
22 Правило лопиталя
0/0 Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окресности х0 и обращаются в нуль в этой точке:f(x0)=g(x0)=0. Пусть g’(x) 0 в окресности точи х0. Если существует lim f’(x)/g’(x) x⟶x0 то lim f(x)/g(x) =L x⟶x0
∞/∞ Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окресности х0 и обращаются в нуль в этой точке:f(x0)=g(x0)=∞. g’(x) 0. Если существует lim f’(x)/g’(x) то lim f(x)/g(x) = lim f’(x)/g’(x) x⟶x0
23 Формула тейлора с остаточным членом в формк пеано и лагранжа. Формула маклорена
Если
ф-ция f(x)
определена в некоторой окресности x0
и
имеет в ней производные до (n+1)
порядка включительно, то для любого х
из этой оуресности найдется сϵ(x0;x)
такая что: f(x)=f(x0)+
(x-x0)
+
(x-x0)2+…+
(x-x0)n
+
(x-x0)n+1
(c=x0+
(x-x0),
0<
<1)
остаточный член в форме лагранжа
Rn(x)=
(x-x0)n+1
Формула
макоарена при х=0 : : f(x)=f(0)+
х
+
(х)2+…+
(х)n+
n+1
24 разложение по формуле маклорена ф-ций ex,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)n
ex по формуле макларена f’(x)=ex, f’’(x)=ex…f(n+1)(x)=ex т.к. f(0)=e0=1, f’(0)=1,…,f(n)(0)=1, f(n+1)(c)=ec по формуле макларена :
e=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+(ecxn+1)/(n+1)!
Sinx=x-x3/3!+x5/5!+…+(-1)n x2n+1/(2n+1)!+(-1)n+1 x2n+3/(2n+3)! *cos c
Cosx = 1-x2/2!+x4/4!-…+ (-1)n x2n/(2n)!+(-1)n+1 x2n+2/(2n+2)! *cos x
ln(1+x)=x-x2/2 +x3/3!-x4/4!+…+(-1)n-1 xn/n + (-1)n xn+1/(n+1)(1+c)n+1
(1+x)a=1+ax+(a(a-1)/2!)x2+…+(a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn + (a(a-1)…(a-n)(1+c)a-n-1/(n+1)!)xn+1