12 Точки разрыва

Т.р.- точки в которых нарушается непрерывность ф-ции Если х=х₀ то не вып по крайней мере 1 из условий

Ф-ция определена в окресности х₀ но не определена в самой х₀ (гипербола); ф-ция определена в х₀ и ее окресности но не сущ lim x⟶x₀; ф-ция определена в х₀ и ее окресности, сущ lim f(x) x⟶x₀ но предел не равен знач ф-ции в этой точке lim f(x) f(x0)

точка разрыва первого рода если в точке сущ конечные пределы функции слева и справа lim f(x) слева =А1 lim f(x) справа = А2 при этом :1) если А1=А2 то х₀ точка устранимого разрыва 2) если А1 А2 то х₀ точка конечного разрыва

точка разрыва второго рода если по крайней мере один из односторонних пределов не сущ или =∞

скачек ф-ции lA1-A2l

13 Непрерывность ф-ции на интервале,отрезке. Формулировка св-в ф-ций, непрер на отрезке

Вейерштрасс:если ф-ция непрерывна на отрезке то она достишает на этом отрезке своего наибольшего и наим. Знач

Следствие:если ф-ция непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке

Коши: если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a;b] и принимает на его концах неравные знач f(a)=A f(b)=B то на этом отрезке она принимает и все промежуточные знач между А и В

Следствие:если ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает знач разных знаков то внутри отрезка [a;b] найдется хотяб одна точка С в которой данная ф-ция f(x) образается в нуль f(c)=0

14 Производная ф-ции действ переменного,геом смысл и механ смысл. Касательная и нормаль к кривой. Односторон произв. Необх условия сущ производной

Произв ф-ции в х₀ наз предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к 0

y’=lim при или f’(x0)=lim при х⟶х0

ф-ция y=f(x) имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) наз диференцируемой в этом интервале

физический смысл: производная y’ есть скорость протекания этого процесса

геометрический смысл: производная f’(x) в точке х равна угловому коэфф. Касательной к графику ф-ции y=f(x) в точке, абцисса которой равна х

ур-е касательной: y-y₀=f’(x)*(x-x₀)

нормаль кривой – прямая, перпендик касательной в точке касания (угл коэфф k_норм=- 1/k_кас=-1/f’(x0)

ур-е нормали y-y0=- 1/f’(x0) * (x-x0) если f’(x0) 0

Правосторонний предел называется правосторо́нней произво́дной или произво́дной спра́ва и обозначается символами

левосторонний предел называется левосторо́нней произво́дной или произво́дной сле́ва и обозначается символами

Пусть дана функция Тогда существует конечная производная f'(x₀) тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные односторонние производные f' ₊ (x₀) = f' ₋ (x₀).

15 Общие правила диффиринцирования. Дифф сложн ф-ции,обратной ф-ции

1)(u±v)’=u’±v’ 2)(u*v)’=u’v+uv’ в ч (cu)’=c*u’ 3)(u/v)’=(u’v-uv’)/u² в ч (c/v)’=-(cv’)/v² 4)y’_x=y’_u*u’_x если y=f(u), u=

5)y’_x=1/x’_y если y=f(x), x=

(дифференцирование сложной функции). Пустбь функция x = f(t) диффер в t, а ф-ция y = f(x) диффер в соответств точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула (f(f(t)))' = f'(x)f'(t)

Пример 5. Найти y', если y = 5^{cos x}. y' = 5^{cos x}(-sin x)ln 5=-5^{cos x} sin x ln 5. (производная обратной функции). Пусть ф-ция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x) 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f^-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f^-1(y) и для ее производной справедлива формула (f^-1(y))' = 1/f'(x). Пример 6. Найти x'_y, если y = 2x³+3x⁵+x Имеем y' = 6x²+15x⁴+1, тогда x'_y = 1/y'_x = 1/(6x²+15x⁴+1).