8. Нахожд. Эл-ов сопр-щего 3-хгран. В произвольн. Параметризации

= * (S) !( далее R)!(1) Известно, что если прямая задана в естеств. параметр-ции (1), то направл. Векторами ребер 3-хгранника явл.: орткасательная T=R, орт. главной нормали V: n = k*V, n=T: орт.бинормали B=T*V; Перейдем к произв. парам. Т с помощью Ф.Д.П.П.??? S=S(T), тогда годограф будет опред. ф-ей R(с точкой)=R(S(T)); найдем 1-ю и 2-ю производную от парам. Т от полученной сложной ф-ии: R`=dr/dt !(r-вектор)!; (dr/ds)*(ds/dt)=>T*(ds/dt);

R`=T*(ds/dt);=>R` | | T; R`` = (d2t)/(dt2 ) !(t-вектор)!= ((dr/ds)*(ds/dt))t` =T*(ds/dt)t`= (dT/ds)* (ds/dt) *(ds/dt)+T* (d2t)/ (dt2 )= T(с точкой)* (ds/dt) + T(d2t)/(dt2 ) = kV(ds2/dt)2 + T* (d2t)/ (dt2

)=> R`` =kV(ds2/dt)2 + T* (d2t)/ (dt2); R`` разложен по векторам T и V – это значит он компланарен, лежит с ним в одной плоскости: R` не || R``, R`*R`` = !(далее b)!, b параллелен соприкас. Плоскости => b || B, B параллелен соприкас. пл.,; b = R`*R`` - b является напр-щим вектором b-нормали. Чтобы найти нарп. вектор главной нормали достаточно рассмотреть R`* b = N!(вектор)!, N параллелен спрямляющей плоскости => N || V; Вывод: элементы 3-х гранника в произвольном параметр. кривой: касат (М;R); бинормаль (M,b), b = R`*R``; главная нормаль(M,N), N=R`*b;

Норм.пл. (M;b;N) перп-на R; соприкас. пл. (M;R;N) перп-на b; спрямляющая пл.

(M;T;b)перп-на N; <=!!! M это число !!!;

Чтобы написать уравнение элементов сопр. Графика, для каждого из ребер будем пользоваться каноническим видом уравнения прямой: (x-x0)/m = (y –y0)/n = (z – z0)/p для каждой из граней. Будем пользоваться видом урав-ия плоскости: A(x-x0)+ B(y –y0) + C (z – z0) = 0 - (A,B.C.) – координаты вектора параллельного плоскости: для нормальной пл. – R(вектор), для соприкас. плоскости – b(тоже вектор), спрямляющей пл. – N. Сопровождающии 3-х гранник к кривой: НАХОЖДЕНИЕ РЕБЕР

Кас. (М0;R`)- ! M0 – число!; бинормаль (M0,b), b = R`*R``; главная нормаль(M,N), N=R`*b; (x-x0)/m = (y –y0)/n = (z – z0)/p

9. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.

Ф-лы Френе Дана ф-я r = r(s) – в кот. определн сопровожд. 3-х гранник: τ -касательная, ν – нормаль, β – бинормаль(τ, ν ,β – векторы – далее T,V,B): формулы Френе выражают 1-е произв. орто 3-х гранника по параметру S через сами эти орты. Получим эти формулы:

1 ф-ла:Tточ.= n(вектор) => n=kV(n – вектор кривизны)=>Тточ. = kV; Vточ перпед. V (произв. вектора пост. модуля перпенд. данному вектору); т.к Vточ. – компланарен с Т и В, то Vточ. = α + H*B(α-угол, Н-кооф.кручения); Для определения α и Н продифренцирование по парам S скал. произведение векторов T*V; T*V=0(T перпенд. V)=>Tточ*V+T*Vточ. =0 => (k*Vточ)V+T(αT+HB) =0=> k(V*Vточ)+ α (Т*Тточ)+ Н(T*B)=0=> V*Vточ=1, Т*Тточ=1, T*B=0 => k+α=0=> α = -k : 2 ф-ла Vточ = -kT + H*B

B=T*V=> Bточ=Tточ*V+T*Vточ.= V(V*k)+ T(-kT+HB)= k(V*V)-k(Т*Т)+ Н(T*B)=T*B= - V ч.т.д 3 ф-ла Вточ = -H*V(H-кручение кривой в данной т., к-кривизна кривой) из 1 ф-лы => |k|=|Tточ| - кривизна хар-ет скорость вращения касательное при перемещ. точки вдоль кривой. K не =0, то 1/k – радиус кривизны данной кривой, в этом случае в т. определена соприкас. окружность R=1/k

Величина Н назыв. кручением кривой в т. |H|=|Bточ|, т.к. В-ортбинормаль, Н хар-ет скорость вращения бинорм при перемещ т. вдоль кривой. Т.к с бинормалью жестко связаны соприкас. плоскость препенд. бинормалям => кручение хар-ет скорость выкручивания кривой и сопр. плоскости. Кручение со знаком: если выкруч. Из соприкас. пл-ти в положит.пространство(в кот. указывает В) то H>0, если в отрицат – H<0.