1. Параметрическая корреляция (оценка наличия связи для переменных, измеряемых в шкале интервалов).

Например, рассмотрим, как связаны между собой такие величины, как, прибыль предприятия и инвестиции, затрачиваемые в обучение персонала . Исходные данные для анализа приведены в таблице 3.1. На рис. 3.1 изображена диаграмма рассеивания данных величин.

Таблица 3.1.

Исходные данные

Каким образом проявляется связь между и ? Положение объекта относительно остальных в выборке по и , определяемое средними двух распределений, проявляется в величинах и знаках отклонений и соответственно. Если объект имеет высокий уровень по обоим переменным, то произведение * будет большим и положительным. Аналогично, если он относительно низок как по , так и по , то произведение * также будет большим и положительным (перемножаются два отрицательных числа). В первом случае имеет место прямая связь, во втором – обратная.

Тогда при прямой связи и относительно велика, а при обратной связи и также большая.

Если связи между собой у и не наблюдается, то величина и относительно невелика.

Таким образом, можно перейти к понятию меры ковариации случайных величин и , которая определяется как:

.

В среде MS Excel для расчета данного параметра существует следующая функция:

Ковар - возвращает ковариацию, то есть среднее произведений отклонений для каждой пары точек данных.

Синтаксис

КОВАР(массив1; массив2)

Массив1   - это первый массив или интервал данных.

Массив2   - это второй массив или интервал данных.

Вычитание значений и из соответствующих средних сделало независимым от средних. Чтобы избавить меру связи от влияния стандартных отклонений двух групп значений, надо разделить на дисперсии случайных величин и . В результате получим коэффициент корреляции Пирсона для несгруппированных данных:

или

Для оценки данного параметра может быть использована следующая функция:

КОРРЕЛ - возвращает коэффициент корреляции меду интервалами ячеек массив1 и массив2.

Синтаксис

КОРРЕЛ(массив1;массив2)

Массив1   - это ячейка интервала значений.

Массив2   - это второй интервал ячеек со значениями.

Область изменения .

Хотя и затруднительно доказать, но никогда не может принять значение ни меньше –1, ни больше +1.

Интерпретация значений приведена в таблице 3.2.

Следует отметить, что коэффициент корреляции Пирсона может быть применен только для взаимно независимых наблюдений, и если наблюдения имею нормальный закон распределения. Поэтому, при расчете данного коэффициента следует предварительно проверить соответствие изучаемой совокупности данных нормальному закону. Проверка гипотезы о соответствие нормальному распределению будет рассмотрена в следующей лабораторной работе.

Таблица 3.2

Интерпретация коэффициента корреляции Пирсона

Величина	Описание линейной связи	Диаграмма рассеивания
+1.00	Сильная прямая связь (функциональная зависимость)
Около +0.50	Слабая прямая связь
0.00	Нет связи (т.е. ковариация X и Y равна 0)
Около –0.50	Слабая обратная связь
-1.00	Сильная обратная связь (функциональная зависимость)

Для данных, представленных в таблице 1, был рассчитан с помощью функции КОРРЕЛ коэффициент корреляции, который оказался равным . Можно сделать вывод, что наблюдается сильная прямая связь, т.е. чем больше прибыль предприятия, тем больше оно инвестирует в обучение персонала. Для решения обратной задачи, т.е. как зависит прибыль предприятия от величины инвестиций в обучение персонала, необходимо рассчитать коэффициент корреляции .

Параметрический коэффициент корреляции также может быть применен и для оценки связей больше, чем между двумя переменными. Например, необходимо оценить зависимость чистой прибыли предприятия от двух параметров: инвестиций в обучения персонала и инвестиций в развитие информационных технологий. Исходные данные для данного примера приведены на рис. 3.2.

Рис. 3.2 - Исходные данные по прибыли предприятия и инвестируемых средств в обучение персонала и развитие информационных технологий

Поскольку в данном случае при анализе используется более двух массивов данных, т.е. существует также и параметр , то для оценки тесноты связи признака с признаками и используется выборочный совокупный коэффициент корреляции:

,

где - коэффициенты парной корреляции между переменными и , и , и соответственно. Для расчета данных коэффициентов можно воспользоваться пакетом Анализ данных, в меню Сервис. Окно выбора метода обработки данных представлено на рис. 3.3. В этом окне выбирают Корреляция и затем появится окно задания исходных параметров для расчета коэффициентов корреляции (рис. 3.4).

Рис. 3.3 – Окно выбора метода обработки данных

Рис. 3.4 – Окно задания исходных параметров корреляционного анализа

Входной интервал – необходимо отметить таблицу, в которой размещены исходные данные (левая верхняя и правая нижняя ячейки). В данном случае, диапазон входных данных размещен в ячейках $B$1:$D$13 (см. рис. 3.2).

Группирование выполняется по столбцам, поскольку данные расположены в столбцах B,C и D.

Флажок Метки в первой строке активируется тогда, когда необходимо заголовками результирующей таблицы сделать заголовки таблицы исходных данных. Если данный флажок не устанавливать, то и Входной интервал ячеек должен быть другим - $B$2:$D$13, т.е. должен быть указан диапазон только с числовыми данными.

Для получения результата на том же листе рабочей книге был введен диапазон Выходного интервала – указана верхняя левая ячейка $F$13.

Параметры Новый рабочий лист или Новая рабочая книга выбираются в том случае, если необходимо разместить результаты на другом листе или в другой рабочей книге соответственно.

После ввода параметров и нажатия кнопки ОК рассчитывается матрица коэффициентов корреляции, которая показана на рис. 3.5.

Рис. 3.5 – Результаты расчета коэффициентов корреляции

Анализируя результаты, можно сделать выводы, что прибыль предприятия в основном зависит от инвестиций в обучение персонала ( ), а не от размера инвестиций в развитие информационных технологий ( ). При этом, слабая корреляционная связь наблюдается и между параметрами и ( ).

Аналогичным образом можно оценить и ковариацию между параметрами.