Вопрос №17

Тригонометрическая и показательная форма записи комплексных чисел. Возведение в степень, извлечение корня.

Комплексное число   изображается на плоскости точкой или, эквивалентно, вектором с координатами   (рис.1), и при таком способе задания   операции сложения будет соответствовать векторное сложение. Плоскость называется комплексной плоскостью, ось   - действительной осью и   - мнимой осью.

Рис.1.

В полярной системе координат на комплексной плоскости число   будет определяться парой действительных чисел   (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

(8)

и   имеет смысл модуля , а   называется аргументом числа  ,  . С использованием (8) число   запишется как

(9)

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа  . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного  , что записывается как

(10)

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

(11)

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

(12)

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.

     Пример 1-3. Доказать следующие свойства экспоненты с чисто мнимым показателем:

1.     2.      3. 

     Решение

1. Из формулы Эйлера (11) следует, что

2. Применяя формулу Эйлера два раза, получим

3. Поступая аналогично примеру 2 и учитывая правило деления комплексных чисел (7), получим

Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

 

,

 

где n – целое положительное число.

 

 Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

 

 Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

 

 Пример. Найти формулы sin2 и cos2.

 

Рассмотрим некоторое комплексное число 

Тогда с одной стороны  .

По формуле Муавра: 

Приравнивая, получим 

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

 

 

 5) Извлечение корня из комплексного числа.

 

Возводя в степень, получим:

Отсюда: 

 

Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень. Поэтому (см. предыдущий параграф) модуль корня (целой степени) из комплексного числа получается извлечением корня той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент – делением аргумента на показатель корня:

 (В)

Здесь под знаком   обозначено положительное число (арифметический корень из модуля). Корень n-й степени из всякого комплексного числа   имеет n различных значений. Все они Все они имеют одинаковые модули  ; аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла (1/n)*360°. Действительно, пусть φ0 есть аргумент подкоренного числа. Тогда φ0 + 360°; φ0+2•360° и т. д. также являются его аргументами. Формула (В) показывает, что за аргумент корня можно принять не только  , но также  360°,  360° и т. д. Соответствующие значения корня не все различны между собой: аргумент  360, т. е.  +360°, дает то же комплексное число, что и аргумент  ; аргумент 360° =  360°+360° дает то же комплексное число, что и аргумент 360°, и т.д. Различных значений корня будет ровно n. См. примеры. Пример 1. Извлечь квадратный корень из числа – 9i. Модуль этого числа есть 9. Значит, модуль корня равен   Аргумент подкоренного числа можно принять равным - 90°, - 90°+360°, - 90°+2•360° и т. д. В первом случае получаем:

 (1)

Во втором случае

 (2)

В третьем случае