6*. Час обслуговування

Окрім характеристик вхідного потоку заявок, режим роботи системи залежить ще від характеристик продуктивності самої системи: числа каналів і швидкодії кожного каналу. Однієї з найважливіших величин, пов’язаних з системою, є час обслуговування однієї заявки . Ця величина може бути як невипадковою, так і випадковою. Очевидно, більш загальним є випадковий час обслуговування.

Розглянемо випадкову величину і позначимо її функцію розподілу:

, (30)

а – густина розподілу:

. (31)

Для практики особливий інтерес представляє випадок, коли величина має показовий розподіл

, (32)

де параметр – величина, зворотна середньому часу обслуговування однієї заявки:

. (33)

Особлива роль, яку грає в теорії масового обслуговування показовий закон розподілу величини, пов’язана з тією властивістю цього закону, яка була доведена раніше. В застосуванні до даного випадку воно формулюється так: якщо в якийсь момент відбувається обслуговування заявки, то закон розподілу часу обслуговування, що залишився, не залежить від того, скільки часу обслуговування вже продовжувався.

На перший погляд допущення про те, що час обслуговування розподілений по показовому закону, представляється досить штучним. У ряді практичних задач здається природніше припустити його або зовсім не випадковим, або розподіленим по нормальному закону. Проте існують умови, в яких час обслуговування дійсно розподіляється згідно із законом, близьким до показового.

Це, перш за все, всі задачі, в яких обслуговування зводиться до ряду «спроб», кожна з яких приводить до необхідного результату з якоюсь ймовірністю .

Хай, наприклад, «обслуговування» полягає в обстрілі якоїсь мети і закінчується у момент її поразки. Обстріл ведеться незалежними пострілами з деякою середньою скорострільністю пострілів в одиницю часу. Кожний постріл вражає мету з ймовірністю . Щоб не зв’язувати себе необхідністю точного обліку моменту кожного пострілу, припустимо, що вони відбуваються у випадкові моменти часу і утворюють найпростіший потік з густиною (рис. 15).

Виділимо в думках з цього потоку інший – потік «успішних» або «вражаючих», пострілів (вони відзначені кругами на рис. 15). Постріл називатимемо «успішним», якщо він приводить до поразки мети (якщо тільки мета не була уражена раніше). Неважко переконатися, що успішні постріли теж утворюють найпростіший потік з густиною (початковий потік – найпростіший, а кожний постріл може стати вражаючим, незалежно від інших, з ймовірністю ). Ймовірність того, що мета буде уражена до моменту , буде рівною

звідки густина розподілу часу «обслуговування»

,

а це є показовий закон з параметром .

П оказовим законом розподілу часу обстрілу до поразки мети можна приблизно користуватися і у разі, коли постріли не утворюють найпростішого потоку, а відокремлені, наприклад, строго певними проміжками часу якщо тільки вірогідність поразки одним пострілом не дуже велика. Для ілюстрації приведемо на одному і тому ж графіку (рис. 16) функцію розподілу моменту вражаючого пострілу (східчаста лінія) для випадку, і функцію , розподілу показового закону з параметром (плавна крива). Як видно на рис. 16, неперервний показовий розподіл добре відповідає характеру наростання функції розподілу для дискретного випадку. Природно, якщо моменти пострілів не будуть строго визначеними, відповідність з показовим законом буде ще краще.

Випадок стрільби – не єдиний, коли обслуговування здійснюється рядом «спроб». До такого типу часто можна віднести обслуговування по усуненню несправностей технічних пристроїв, коли пошуки несправної деталі або вузла здійснюються поряд тестів або перевірок. До такого ж типу можна віднести задачі, де «обслуговування» полягає у виявленні якого-небудь об’єкту радіолокатором, якщо об’єкт з якоюсь ймовірністю може бути знайдений при кожному циклі огляду.

П оказовим законом добре описуються і ті випадки, коли густина розподілу часу обслуговування із тих або інших причин убуває при зростанні аргументу . Це буває, коли основна маса заявок обслуговується дуже швидко, а значні затримки в обслуговуванні спостерігаються рідко. Розглянемо, наприклад, вікно поштового відділення, де продаються марки і конверти, а також приймаються поштові відправлення і переклади. Основна маса відвідувачів купує марки або конверти і обслуговується дуже швидко. Рідше зустрічаються заявки на відправлення рекомендованих листів, вони обслуговуються дещо довше. Переклади посилаються ще рідше і обслуговуються ще довше. Нарешті, в самих окремих випадках представники організацій відправляють відразу велику кількість листів. Гістограма розподілу часу обслуговування має вигляд, представлений на рис. 17. Оскільки густина розподілу убуває із зростанням, можна без особливої погрішності вирівняти розподіл за допомогою показового закону, підібравши відповідним чином його параметр .

Зрозуміло, показовий закон не є універсальним законом розподілу часу обслуговування. Часто час обслуговування краще описується, наприклад, законом Ерланга. Проте, на щастя, пропускна спроможність і інші характеристики системи масового обслуговування порівняно мало залежать від виду закону розподілу часу обслуговування, а залежать, головним чином, від його середнього значення . Тому в теорії масового обслуговування частіше за все користуються допущенням, що час обслуговування розподілений по показовому закону. Ця гіпотеза дозволяє сильно спростити математичний апарат, вживаний для вирішення задач масового обслуговування, і, у ряді випадків, отримати прості аналітичні формули для характеристик пропускної спроможності системи.

20