2*. Випадковий процес з рахунковою безліччю станів

Випадковий процес, що протікає в системі масового обслуговування, полягає в тому, що система у випадкові моменти часу переходить з одного стану в інший: міняється число зайнятих каналів, число заявок, що стоять в черзі, і т.п. Такий процес істотно відрізняється від випадкових процесів. Річ у тому, що система масового обслуговування є фізичною системою дискретного типу з кінцевою (або рахунковою) множиною станів,^, а перехід системи з одного стану в інший відбувається стрибком, в мить, коли здійснюється якась подія (прихід нової заявки, звільнення каналу, відхід заявки з черги і т. п.).

Розглянемо фізичну систему з рахунковою безліччю станів

.

У будь-який момент часу система може бути в одному з цих станів. Позначимо ймовірність того, що в момент система знаходитиметься в стані . Очевидно, для будь-кого

. (1)

Сукупність ймовірностей для кожного моменту часу характеризує даний переріз випадкового процесу, що протікає в системі. Ця сукупність не є вичерпною характеристикою процесу (вона, наприклад, зовсім не відображує залежність між перерізами), але все таки достатньо добре описує процес і для ряду практичних застосувань виявляється достатньою.

Випадкові процеси з рахунковою безліччю станів бувають двох типів: з дискретним або неперервним часом. Перші відрізняються тим, що переходи із стану в стан можуть відбуватися тільки в строго певні, розділені кінцевими інтервалами моменти часу . Випадкові процеси з неперервним часом відрізняються тим, що перехід системи із стану в стан можливий у будь-який момент часу .

Як приклад дискретної системи, в якій протікає випадковий процес з неперервним часом, розглянемо групу з літаків, що скоюють наліт на територію супротивника, що обороняється винищувальною авіацією. Ні момент виявлення групи, ні моменти підйому по ній винищувачів наперед не відомий. Різні стани системи відповідають різному числу уражених літаків у складі групи:

– не уражено жодного літака

– уражений рівно один літак

– уражено рівно літаків

– уражено всі літаків.

Схема можливих станів системи і можливих переходів із стану в стан показана на рис. 1.

Стрілками показані можливі переходи системи із стану в стан. Закруглююча стрілка, направлена із стану в нього ж, означає, що система може не тільки перейти в сусідній стан , але і залишитися в колишньому. Для даної системи характерні необоротні переходи (уражені літаки не відновлюються); у зв’язку з цим із стану ніякі переходи в інші стани вже неможливі.

Відзначимо, що на схемі можливих переходів (рис. 1) показані тільки переходи із стану в сусідній стан і не показані «перескоки» через стан: ці перескоки відкинуті як практично неможливі. Дійсно, для того, щоб система «перескочила» через стан, потрібно, щоб строго одночасна були уражені два або більш літака, а ймовірність такої події дорівнює нулю.

Випадкові процеси, що протікають в системах масового обслуговування, як правило, є процесами з неперервним часом. Це пов’язано з випадковістю потоку заявок. В протилежність системі з необоротними переходами, розглянутої в попередньому прикладі, для системи масового обслуговування характерні оборотні переходи: зайнятий канал може звільнитися, черга може «розсмоктатися».

Як приклад розглянемо одноканальну систему масового обслуговування (наприклад, одну телефонну лінію), в якій заявка, що застала канал зайнятим, не стає в чергу, а покидає систему (дістає «відмову»). Це – дискретна система з неперервним часом і двома можливими станами:

– канал вільний

– канал зайнятий.

Переходи із стану в стан можуть бути оберненими. Схема можливих переходів показана на рис. 2.

Для -канальної системи такого ж типу схема можливих переходів показана на рис. 3. Стан – всі канали вільні; – зайнятий рівно один канал, – зайнято рівно два канали і т.д.

Розглянемо ще один приклад дискретної системи з неперервним часом: одноканальну систему масового обслуговування, яка може знаходитися в чотирьох станах:

– канал справний і вільний

– канал справний і зайнятий

– канал несправний і чекає ремонту

– канал несправний і ремонтується.

С хема можливих переходів для цього випадку показана на рис. 4. Перехід системи з безпосередньо в минувши , можна вважати практично неможливим, оскільки для цього потрібно, щоб закінчення ремонту і прихід чергової заявки відбулися строго в один і той же момент часу.

Для того, щоб описати випадковий процес, що протікає в дискретній системі з неперервним часом, перш за все потрібно проаналізувати причини, що викликають перехід системи із стану в стан.

Для системи масового обслуговування основним чинником, що обумовлює протікання в ній процеси, є потік заявок. Тому математичний опис будь-якої системи масового обслуговування починається з опису потоку заявок.