Лекція № 10, 3 семестр, ІТП
Лекція № 10
Тема: Пуассонівський потік та його властивості. Формула Пуассона для найпростішого потоку (потоку Пуассона). Потік подій Пальма. Потік Ерланга.
Питання лекції:
Предмет теорії масового обслуговування.
Випадковий процес з рахунковою безліччю станів.
Потік подій. Найпростіший потік і його властивості.
Нестаціонарний пуассоновский потік.
Потік з обмеженою післядією (потік Пальма).
Час обслуговування.
1*. Предмет теорії масового обслуговування
За останні десятиріччя в самих різних областях практики виникла необхідність в розв’язанні своєрідних імовірнісних задач, пов’язаних з роботою так званих систем масового обслуговування. Прикладами таких систем можуть служити: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, довідкові бюро, перукарські і т.п. Кожна така система складається з якогось числа обслуговуючих одиниць, які ми називатимемо «каналами» обслуговування. В якості каналів можуть фігурувати: лінії зв’язку; люди, виконуючі ті чи інші операції; різні прилади і т.п. Системи масового обслуговування можуть бути як одно - так і багатоканальними.
Робота будь-якої системи масового обслуговування полягає у виконанні поступаючого на неї потоку вимог або заявок. Заявки поступають одна за одною в деякі, взагалі кажучи, випадкові, моменти часу. Обслуговування заявки, що поступила, продовжується якийсь час, після чого канал звільняється і знову готовий для прийому наступної заявки. Кожна система масового обслуговування, залежно від числа каналів і їх продуктивності, володіє якоюсь пропускною спроможністю, що дозволяє їй більш менш успішно справлятися з потоком заявок. Предмет теорії масового обслуговування – встановлення залежності між характером потоку заявок, продуктивністю окремого каналу, числом каналів і успішністю (ефективністю) обслуговування. Як характеристики ефективності обслуговування – залежно від умов задачі і мети дослідження – можуть застосовуватися різні величини і функції, наприклад: середній відсоток заявок, що одержують відмову і покидають систему не обслуженими; середній час «простою» окремих каналів і системи в цілому; середній час очікування в черзі; ймовірність того, що заявка, що поступила, негайно прийнята до обслуговування; закон розподілу довжини черги і т.д. Кожна з цих характеристик описує, з тієї або іншої сторони, ступінь пристосованості системи до виконання потоку заявок, іншими словами – її пропускну спроможність.
Під «пропускною спроможністю» у вузькому значенні слова звичайно розуміють середнє число заявок, яке система може обслужити в одиницю часу. Разом з нею часто розглядають відносну пропускну спроможність – середнє відношення числа обслужених заявок до числа поданих. Пропускна спроможність (як абсолютна, так і відносна) в загальному випадку залежить не тільки від параметрів системи, але і від характеру потоку заявок. Якби заявки поступали регулярно, через точно певні проміжки часу, і обслуговування кожної заявки теж мало строго певну тривалість, розрахунок пропускної спроможності системи не представляв би ніякої трудності. На практиці звичайно моменти надходження заявок випадкові; здебільшого випадкова і тривалість обслуговування заявки. У зв’язку з цим процес роботи системи протікає нерегулярний: в потоці заявок утворюються місцеві згущування і розрідження. Згущування можуть привести або до відмов в обслуговуванні, або до утворення черг. Розрідження можуть привести до непродуктивних простоїв окремих каналів або системи в цілому. На ці випадковості, пов’язані з неоднорідністю потоку заявок, накладаються ще випадковості, пов’язані із затримками обслуговування окремих заявок. Таким чином, процес функціонування системи масового обслуговування є випадковим процесом. Щоб дати рекомендації по раціональній організації системи, з’ясувати її пропускну спроможність і пред’явити до неї вимоги, необхідно вивчити випадковий процес, що протікає в системі, і описати його математично. Цим і займається теорія масового обслуговування.
Помітимо, що за останні роки область застосування математичних методів теорії масового обслуговування неперервно розширяється і все більше виходить за межі задач, пов’язаних з «обслуговуючими організаціями» в буквальному розумінні слова. Багато задач автоматизації виробництва виявляються близькими до теорії масового обслуговування: потоки деталей, що поступають для виконання над ними різних операцій, можуть розглядатися як «потоки заявок», ритмічність надходження яких порушується за рахунок випадкових причин. Своєрідні задачі теорії масового обслуговування виникають у зв’язку з проблемою організації транспорту і системи повідомлень. Близькими до теорії масового обслуговування виявляються і задачі, що відносяться до надійності технічних пристроїв: такі їх характеристики, як середній час безвідмовної роботи, потрібна кількість запасних деталей, середній час простою у зв’язку з ремонтом і т. д., визначаються методами, безпосередньо запозиченими з теорії масового обслуговування.
Проблеми, споріднені задачам масового обслуговування, постійно виникають у військовій справі. Канали наведення, лінії зв’язку, аеродроми, пристрої для збору і обробки інформації є своєрідними системами масового обслуговування з своїм режимом роботи і пропускною спроможністю.
Важко навіть перерахувати всі області практики, в яких знаходять застосування методи теорії масового обслуговування. За останні роки вона стала однією з самих гілок теорії ймовірностей, що швидко розвиваються.
Наведемо деякі елементарні відомості по теорії масового обслуговування, знання яких необхідне будь-якому інженеру, що займається питаннями організації в області промисловості, народного господарства, зв’язку, а також у військовій справі.