3*. Потік подій. Найпростіший потік і його властивості

Під потоком подій в теорії ймовірностей розуміється послідовність подій, що відбуваються одна за іншою в якісь моменти часу. Прикладами можуть служити: потік викликів на телефонній станції; потік включень приладів в побутовій електромережі; потік рекомендованих листів, що поступають в поштове відділення; потік збоїв (несправностей) електронної обчислювальної машини; потік пострілів, що направляються на мету під час обстрілу, і т.п. Події, що створюють потік, в загальному випадку можуть бути різними, але тут ми розглядатимемо лише потік однорідних подій, що розрізняються тільки моментами появи. Такий потік можна зобразити як послідовність точок на числовій осі (рис. 5), відповідних моментам появи подій.

Потік подій називається регулярним, якщо події слідують одна за іншою через строго певні проміжки часу. Такий потік порівняно рідко зустрічається в реальних системах, але представляє інтерес як граничний випадок. Типовим для системи масового обслуговування є випадковий потік заявок.

В справжньому випадку ми розглянемо потоки подій, що володіють деякими особливо простими властивостями. Для цього введемо ряд визначень.

1. Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання того або іншого числа подій на проміжок часу завдовжки (рис. 5) залежить тільки від довжини проміжку і не залежить від того, де саме на осі розташований цей проміжок.

2. Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких проміжків часу, що не перекриваються, число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші.

3. Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарний проміжок двох або більш подій нескінченно мала в порівнянні з ймовірністю попадання однієї події.

Якщо потік подій володіє всіма трьома властивостями (тобто стаціонарний, ординарний і не має післядії), то він називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівским) потоком. Назва «пуассоновский» зв’язана з тим, що при дотриманні умов число подій, що потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, буде розподілено за законом Пуассона.

Розглянемо докладніше умови , подивимося, чому вони відповідають для потоку заявок і за рахунок чого вони можуть порушуватися.

1. Умові стаціонарності задовольняє потік заявок, характеристики ймовірності якого не залежать від часу. Зокрема, для стаціонарного потоку характерна постійна густина (середнє число заявок в одиницю часу). На практиці часто зустрічаються потоки заявок, які (принаймні, на обмеженому відрізку часу) можуть розглядатися як стаціонарні. Наприклад, потік викликів на міській телефонній станції на проміжку часу від до годин може вважатися стаціонарним. Той же потік протягом цілих діб вже не може вважатися стаціонарним (вночі густина викликів значно менше ніж вдень). Помітимо, що так йде справа і зі всіма фізичними процесами, які ми називаємо «стаціонарними»: насправді всі вони стаціонарні лише на обмеженій ділянці часу, а розповсюдження цієї ділянки до нескінченості – лише зручний прийом, вживаний в цілях спрощення аналізу. В багатьох задачах теорії масового обслуговування представляє інтерес проаналізувати роботу системи за постійних умов; тоді задача розв’язується для стаціонарного потоку заявок.

2. Умова відсутності післядії – найістотніше для найпростішого потоку – означає, що заявки поступають в систему незалежно один від одного. Наприклад, потік пасажирів, що входять на станцію метро, можна вважати потоком без післядії тому що причини, що зумовили прихід окремого пасажира саме в той, а не інший момент, як правило, не пов’язані з аналогічними причинами для інших пасажирів. Проте умова відсутності післядії може бути легко порушеною за рахунок появи такої залежності. Наприклад, потік пасажирів, що покидають станцію метро, вже не може вважатися потоком без післядії, оскільки моменти виходу пасажирів, прибулих одним і тим же поїздом, залежні між собою.

Взагалі потрібно помітити, що вихідний потік (або потік обслужених заявок), що покидає систему масового обслуговування, звичайно має післядію, навіть якщо вхідний потік його не має. Щоб переконатися в цьому, розглянемо одноканальну систему масового обслуговування, для якої час обслуговування однієї заявки цілком визначений і дорівнює . Тоді в потоці обслужених заявок мінімальний інтервал часу між заявками, що покидають систему, буде рівний . Неважко переконатися, що наявність такого мінімального інтервалу неминуче приводить до післядії. Дійсно, хай стало відомо, що в якийсь момент систему покинула обслужена заявка. Тоді можна затверджувати з достовірністю, що на будь-якому проміжку часу , що лежить в межах , обслуженої заявки не з’явиться, отже, буде мати місце залежність між числами подій на проміжках, що не перекриваються.

Післядію, властиву вихідному потоку, необхідно враховувати, якщо цей потік є вхідним для якої-небудь іншої системи масового обслуговування (так зване «багатофазове обслуговування», коли одна і та ж заявка послідовно переходить з системи в систему).

Відзначимо, між іншим, що найпростіший на перший погляд регулярний потік, в якому події відокремлені один від одного рівними інтервалами, зовсім не є «найпростішим» в нашому значенні слова, оскільки в ньому є яскраво виражена післядія: моменти появи наступних один за одним подій зв’язані жорсткою, функціональною залежністю. Саме через наявність післядії аналіз процесів, що протікають в системі масового обслуговування при регулярному потоці заявок, набагато складніше, ніж при найпростішому.

3. Умова ординарності означає, що заявки приходять поодинці, а не парами, трійками і т.д. Наприклад, потік атак, якому піддається повітряна мета в зоні дії винищувальної авіації, буде ординарним, якщо винищувачі атакують мету поодинці, і не буде ординарним, якщо винищувачі йдуть в атаку парами. Потік клієнтів, що входять в перукарню, може вважатися практично ординарним, чого не можна сказати про потік клієнтів, що прямують в ЗАГС для реєстрації браку.

Якщо в неординарному потоці заявки поступають тільки парами, тільки трійками і т. д., то неординарний потік легко звести до ординарного; для цього достатньо замість потоку окремих заявок розглянути потік пар, трійок і т.д. Складніше, якщо кожна заявка випадковим чином може виявитися подвійною, потрійною і т.д. Тоді вже доводиться мати справу з потоком не однорідних, а різнорідних подій.

Надалі ми для простоти обмежимося розглядом ординарних потоків.

Найпростіший потік грає серед потоків подій взагалі особливу роль, до деякої міри аналогічну ролі нормального закону серед інших законів розподілу. Ми знаємо, що при підсумовуванні великого числа незалежних випадкових величин, підлеглих практично будь-яким законам розподілу, виходить величина, приблизно розподілена по нормальному закону. Аналогічно можна довести, що при підсумовуванні (взаємному накладенні) великого числа ординарних, стаціонарних потоків з практично любою післядією виходить потік, скільки завгодно близький до найпростішого. Умови, які повинні для цього дотримуватися, аналогічні умовам центральної граничної теореми, а саме – потоки, що складаються, повинні робити на суму приблизно рівномірно малий вплив.

Н е доводячи цього положення і навіть не формулюючи математично умови, яким повинні задовольняти потоки, проілюструємо його елементарними міркуваннями. Хай є ряд незалежних потоків (рис. 6). «Підсумовування» потоків полягає в тому, що всі моменти появи подій зносяться на одну і ту ж вісь, як показано на рис. 6.

Припустимо, що потоки порівнянні по своєму впливу на сумарний потік (т, е. мають густину одного порядку), а число їх достатньо велике. Припустимо, крім того, що ці потоки стаціонарні і ординарні, але кожний з них може мати післядію, і розглянемо сумарний потік

(2)

на осі (рис. 6). Очевидно, що потік повинен бути стаціонарним і ординарним, оскільки кожний доданок володіє цією властивістю і вони незалежні. Крім того, достатньо ясно, що при збільшенні числа доданків післядія в сумарному потоці, навіть якщо воно значна в окремих потоках, повинна поступово слабіти. Дійсно, розглянемо на осі два відрізки, що не перекриваються, і (рис. 6). Кожна з точок, що потрапляють на ці відрізки, випадковим чином може виявитися тою, що належить тому або іншому потоку, і у міру збільшення питома вага точок, що належать одному і тому ж потоку (і, значить, залежних), повинна зменшуватися, а решта точок належить різним потокам і з’являється на відрізках, , незалежно один від одного. Достатньо природно чекати, що при збільшенні сумарний потік втрачатиме післядію і наближатиметься до найпростішого.

На практиці виявляється звичайно достатньо скласти потоків, щоб отримати потік, з яким можна оперувати як з найпростішим.

Найпростіший потік грає в теорії масового обслуговування особливо важливу роль. По-перше, найпростіші і близькі до найпростіших потоки заявок часто зустрічаються на практиці (причини цього викладені вище). По-друге, навіть при потоці заявок, відмінному від найпростішого, часто можна отримати задовільні по точності результати, замінивши потік будь-якої структури найпростішим з тією ж густиною. Тому займемося докладніше найпростішим потоком і його властивостями.

Розглянемо на осі найпростіший потік подій (рис. 7) як необмежену послідовність випадкових точок.

Виділимо довільний проміжок часу завдовжки . Нами біло доведено, що за умов , і (стаціонарність, відсутність післядії і ординарність) число точок, що потрапляють на проміжок , розподілено за законом Пуассона з математичним сподіванням

, (3)

де – густина потоку (середнє число подій, що доводиться на одиницю часу).

Ймовірність того, що за час відбудеться рівно подій, рівна

(4)

Зокрема, ймовірність того, що проміжок виявиться порожнім (не відбудеться жодної події), буде

(5)

Важливою характеристикою потоку є закон розподілу довжини проміжку між сусідніми подіями. Розглянемо випадкову величину – проміжок часу між довільними двома сусідніми подіями в найпростішому потоці (рис. 7) і знайдемо її функцію розподілу

.

Перейдемо до ймовірності протилежної події

.

Ц е є ймовірність того, що на проміжку часу завдовжки , що починається у момент появи однієї з подій потоку, не з’явиться жодна з наступних подій. Оскільки найпростіший потік не володіє післядією, то наявність на початку ділянки (в точці) якоїсь події ніяк не впливає на ймовірність появи тих або інших подій надалі. Тому ймовірність можна обчислити за формулою (5)

звідки

. (6)

Диференціюючи, знайдемо густину розподілу

. (7)

Закон розподілу з густиною (7) називається показовим законом, а величина – його параметром. Графік густини представлений на рис. 8.

Показовий закон, як ми побачимо надалі, грає велику роль в теорії дискретних випадкових процесів з неперервним часом. Тому розглянемо його докладніше.

Знайдемо математичне сподівання величини , розподіленої по показовому закону:

або, інтегруючи частинами

. (8)

Дисперсія величини дорівнює

,

звідки

(9)

. (10)

Доведемо одну чудову властивість показового закону. Вона полягає в наступному: якщо проміжок часу, розподілений по показовому закону, вже тривав якийсь час, то це ніяк не впливає на закон розподілу частини проміжку, що залишилася: він буде таким же, як і закон розподілу всього проміжку .

Для доказу розглянемо випадковий проміжок часу з функцією розподілу

(11)

і припустимо, що цей проміжок вже продовжується якийсь час, тобто відбулася подія . Знайдемо при цьому припущенні умовний закон розподілу частини проміжку, що залишилася ; позначимо його

. (12)

Доведемо, що умовний закон розподілу не залежить від і рівний . Для того, щоб обчислити знайдемо спочатку ймовірність добутку двох подій

і .

По теоремі множення ймовірностей

,

звідки

.

Але подія рівносильна події, ймовірність якої дорівнює

.

З другого боку

,

отже

звідки, згідно формулі (11), отримаємо

що і потрібно було довести.

Таким чином, ми довели, що якщо проміжок часу розподілений по показовому закону, то будь-які відомості про те, скільки часу вже протікав цей проміжок, не впливають на закон розподілу часу, що залишився. Можна довести, що показовий закон – єдиний, що володіє такою властивістю. Ця властивість показового закону є, в суті, інше формулювання для «відсутності післядії», яка є основною властивістю найпростішого потоку.