3*. Добуток подій. Умовна ймовірність. Теорема множення сумісних подій

Означення 4. Добутком двох подій та називається подія , яка полягає в сумісному здійсненні подій та , що позначається так .

К орисною є геометрична інтерпретація цього поняття. Нехай подія полягає в тому, що кинута точка попадає в область , а подія полягає в тому, що точка попадає в область . Тоді подія , то точка попадає в замальовану область.

Приклад 9. В коробці є деталі добротні і браковані, зроблені на заводі і . Нехай – подія, яка полягає в тому, що взята навмання деталь – добротна, а – подія, яка полягає в тому, що деталь зроблена на заводі . Тоді є подія, яка полягає в тому, що деталь добротна і виготовлена на заводі .

Означення 5. Добутком подій називається подія , яка полягає в сумісному здійсненню всіх цих подій .

Означення 6. Подія називається незалежною від події , якщо ймовірність події не залежить від того відбувалась чи ні подія .

Означення 7. Подія називається залежною від події , якщо ймовірність події змінюється в залежності від того відбувалася чи не відбувалася подія .

Приклад 10. Монету кинули два рази. Нехай подія полягає в тому, що герб з’являється при першому киданні, а подія – при другому киданні. Тоді ймовірність події не залежить від того був герб чи цифра при першому киданні. Отже події і – незалежні.

Приклад 11. Нехай в коробці знаходяться білі і чорних куль. З коробки два студента беруть навмання по одній кулі. Нехай подія полягає в тому, що у першого студента з’явилась біла куля, а подія – що у другого студента з’явилась теж біла куля. Тоді ймовірність події до того як відбулась подія дорівнює . А, якщо стало відомо, що відбулась подія , то ймовірність події буде , тобто події і залежні.

Означення 8. Ймовірність події , обчислена при умові, що мала місце подія , називається умовною ймовірністю події і позначається так:

.

Тоді з умови попереднього прикладу прямує, що , .

Якщо події незалежні, то , а якщо вони залежні, то .

Теорема 3. Ймовірність сумісного здійснення подій дорівнює добутку ймовірностей одної з них й умовної ймовірності другої, визначену за умов, що перша подія мала місце, тобто

або

Доведення. Нехай маємо ймовірносних випадків, при яких події і можуть відбутися або ні.

Є випадок їх сумісного здійснення , якому сприяє подій.

, .

Умовна ймовірність події , при умові, що здійснилася .

Тоді .

Зауваження. Якщо і незалежні, то теорема 3 спрощується.

Теорема 4. Ймовірність добутку двох незалежних подій і дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

.

Ці теореми узагальнюються і на добуток з подій.

Теорема 5. Ймовірність добутку подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій, причому ймовірність кожної наступної по порядку події обчислюється при умові, що всі попередні мали місце, тобто

.

4*. Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій. Надійність механізмів, приладів і систем

подій , , … називаються незалежними в сукупності, якщо кожна з них, або люба комбінація з них є подія незалежна.

Теорема 6. Ймовірність сумісного здійснення незалежних подій в сукупності дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

.

Приклад 12. Два верстати працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший верстат працюватиме зміну без наладки дорівнює , а другий – . Обчислити ймовірність того, що обидва верстати за зміну не вимагатимуть наладки.

Розв’язання. Позначимо через подію, що за зміну перший станок буде працювати без наладки, через – подію, що другий станок працюватиме без наладки. Тоді – є подія, що обидва верстати будуть працювати за зміну без наладки. Події і незалежні, тоді за теоремою 2

.

Приклад 13. Достатньою умовою складання заліку студентом є відповіді хоча б на одне з трьох питань білета. Студент не знає питань з . Обчислити ймовірність складання студентом заліку?

Розв’язання. Позначимо через – подію складання заліку, а не складання заліку. Нехай – подія, яка полягає в тому, що студент не знає першого питання; – другого питання; – третього питання. Тоді – подія не складання заліку. За теоремою 3 множення ймовірностей

.

Це є ймовірність не складання заліку. Тоді ймовірність складання заліку дорівнює

.

Приклад 14. Улов з рибин піддають вибірковому контролю. Увесь улов вважається непридатним, якщо з трьох провірених рибин хоча б одна є непридатною. Обчислити ймовірність того, що улов буде прийнятий, якщо він має непридатної риби.

Розв’язання. Підрахуємо спочатку число непридатної риби в улові зі рибин

рибин.

Позначимо через подію, що улов не буде прийнятий, тоді – улов буде прийнятий. Нехай – подія, яка полягає в тому, що перша рибина є придатною; – друга рибина є придатною; – третя рибина є придатною, тоді . За теоремою 3 множення ймовірностей, маємо

,

тоді

.

Надійність механізмів, приладів і систем

Надійністю приладу, механізму, системи називається ймовірність безвідмовної роботи на протязі даного проміжку часу.

Нехай прилад складається з елементів і нехай надійність їх відома, – ймовірність виходу з ладу приладу.

.

Приклад вважається надійними, якщо всі механізми працюють.

.

(1)

Якщо усі надійності рівні, тоді і формула приймає вигляд

. (*)

З формули (*) видно, що чим більше елементів має прилад, тим він менш надійний при , .

Приклад 15. Прилад складається з елементів – надійність кожного елемента. Яка надійність приладу? Яка надійність приладу, якщо елементів буде .

Розв’язання.

.

Якщо => .

П риклад 16. Електричне коло між точками i складено за схемою (рис.).

Різні елементи кола виходять з ладу незалежно один від одного. Ймовірність виходу з ладу елементів кола за час наступні:

елементи	К1	К2	Л1	Л2
ймовірності	0,1	0,2	0,4	0,5

Обчислити ймовірність розриву кола за указаний проміжок.

Розв’язання. Нехай – подія, яка полягає в тому, що є розрив кола, тоді – подія, яка полягає в тому, що є струм в колі.

Нехай події , , , – вихід з ладу відповідних елементів К₁, К₂, Л₁, Л₂. Тоді події , , , – не вихід з ладу цих елементів за час . Подія можлива у випадку сумісного здійснення наступних подій: відбуваються події і і хоча б одна подія і тобто