1*. Основні поняття теорії ймовірностей

Розглянемо тепер основні поняття теорії ймовірностей, якими ми будемо користуватися.

Означення 1. Випадковою подією називається така подія, яка може відбутися або не відбутися у даних конкретних умовах. Наприклад, поява герба при киданні монети, влучення в ціль при пострілі і т.д. Надалі ми будемо позначати випадкові події великими літерами латинського алфавіту , , і т.д.

Всяка подія відбувається при реалізації деякого певного комплексу умов.

Означення 2. Реалізація комплексу умов, при якому відбувається випадкова подія, називається випробуванням або дослідом.

Наприклад, кидання монети – випробування, поява герба – випадкова подія. Постріл – випробування, влучення в ціль – випадкова подія.

Багаторазове повторення випробування – серія випроб.

Означення 3. Декілька подій називаються несумісними у даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.

Наприклад, поява герба і цифри при одному киданні монети, влучення і промах при одному пострілі – несумісні події.

Означення 4. Декілька подій у даному випробуванні утворюють повну групу подій, якщо в результаті випробування хоча б одна з них неодмінно повинна відбутися. Наприклад, поява цифри , , , , , при киданні ігрового кубика; влучення і промах при пострілі утворюють повну групу подій.

Означення 5. Декілька подій у даному випробуванні називаються рівноможливими, якщо ні одна з них не є об’єктивною більш можливою ніж інша.

Кожна рівноможлива подія називається елементарною подією.

Наприклад, поява цифр , , , , , при киданні кубика; поява герба і цифри є рівно можливими, якщо кубик і монета геометрично симетричні і центр ваги їх збігається з геометричним центром.

Надалі обмежимося лише рівноможливими подіями, попарно несумісними, які утворюють повну групу подій.

Означеня 6. Події, які обов’язково відбуваються у результаті випробування, називаються достовірними, а події, що не можуть відбутися у результаті випробування називаються неможливими.

Щоденний схід сонця є подія достовірна; відкрити книжку, що має 100 сторінок, на 105 сторінці – неможлива подія.

Кожна подія, відмінна від достовірної й неможливої, має той чи інший ступінь можливості її здійснення. Щоб кількісно порівнювати між собою події за ступенем можливості їх здійснення, треба кожній події поставити у відповідність число, яке називається математичною ймовірністю події.

Означення 7. Математична ймовірність є числова міра об’єктивної можливості здійснення даної події.

Ймовірність деякої події будемо позначати символом .

2*. Класичне, статистичне і геометричне означення ймовірності

Реально існує три означення ймовірності: класичне, статистичне і геометричне.

Якщо результати випробування можна подати у вигляді повної групи рівноможливих попарно несумісних випадкових подій, і якщо деяка подія з’являється тільки в випадках, то ймовірність події дорівнює відношенню . Звідки класичне означення ймовірності.

Означення 8. Ймовірність деякої події є число, що дорівнює відношенню числа сприятливих випадків появи події до загального числа випадків

(1)

Приклад. В коробці авторучок, з них з синьою пастою і – з червоною. Яка ймовірність того, що взята навмання ручка буде з синьою пастою?

Розв’язання. Подія – взята навмання ручка має синю пасту. Число загальних випадків випробування , число випадків, що сприяють події – . За формулою

.

Відносна частота події визначається рівністю

, (2)

де – число випробувань, в яких подія відбулася; – загальне число проведених випробувань.

При статистичнім означенні за імовірність по дії приймають її відносну частоту.

Приклад. По цілі зробили пострілів, при цьому було зареєстровано влучень. Відносна частота влучення в ціль дорівнює

.

Нехай відрізок складає частину відрізку . На відрізок навмання поставлена точка. Якщо припустить, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині цього відрізку і не залежить від його розташування відносно відрізку , то ймовірність попадання точки на відрізок визначається рівністю

(3)

Аналогічно визначається ймовірність попадання точки в плоску і просторову фігури:

або

Приклад. На площині намальовані два концентричних кола, радіуси яких і см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання в більше коло, попаде в кільце, утворене побудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури і не залежить від її розташування відносно більшого кола.

Розв’язання.

Площа меншого кільця (фігура ) .

Площа більшого кола (фігура ) .

Шукана ймовірність .

З означення ймовірності випливають теореми про її властивості.

Теорема 1. Ймовірність любої випадкової події є додатне число, що міститься між нулем і одиницею

.

Доведення. Число випадків , сприятливих любій події, не може бути від’ємним і більшим ніж їх загальне число , тобто . Ділення нерівності почленно на дає , або прийнявши до уваги рівність (1), отримаємо:

, що і треба було довести.

Теорема 2. Імовірність достовірної події дорівнює

.

Доведення. Властивість очевидна, оскільки достовірній події повинні сприяти усі єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, тобто .

Теорема 3. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю.