Приложение. Основные формулы и определения
Алгебраические преобразования
Законы действий над числами
Переместительный
закон сложения: 
.
Сочетательный
закон сложения: 
.
Переместительный
закон умножения: 
.
Сочетательный
закон умножения: 
.
Распределительный закон умножения относительно сложения:
Распределительный закон умножения относительно вычитания:
Дробные выражения
Основное свойство
дроби: 
,
,
Действия с дробями (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):
, 
, 
, 
Пропорциональность
Пропорция – равенство двух отношений:
,
,
(a, d – крайние члены пропорции; b, с – средние члены пропорции).
Основное свойство
пропорции:
.
Выражение члена пропорции через остальные:
, 
, 
, 
.
Если истинна
пропорция
,
то истинны и следующие пропорции:
,
,
,
,
,
,
,
.
Прямая пропорциональность – функция, заданная формулой:
,
где k – коэффициент пропорциональности;
y, x – пропорциональные переменные.
Свойство прямой
пропорциональности:
.
Обратная пропорциональность – функция, заданная формулой:
,
,
Свойство обратной
пропорциональности:
.
Степени и корни
Степень с целым показателем
(n раз,
),
,
,
.
Свойства:
,
,
,
,
.
Корень n–й степени
– арифметический
корень n–й степени из числа а, а
> 0,
.
Свойства:
.
В частности,
– арифметический квадратный корень:
.
Степень с дробным (рациональным) показателем
.
Свойства степени с действительным показателем
,
Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – числовая последовательность (an), определяемая условиями: 1) а1= а; 2) an+1 = аn + d, n = 1, 2, ... (d – разность арифметической прогрессии).
Свойства арифметической прогрессии:
Формула n-ro члена:
.
Формулы суммы n первых членов:
Геометрическая прогрессия
Геометрическая
прогрессия – числовая последовательность
(bn), определяемая условиями:
(q
– знаменатель геометрической
прогрессии).
Свойства геометрической прогрессии:
.
Формула n-ro члена:
.
Формулы суммы n
первых членов (
):
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
.
Формулы сокращенного умножения
Логарифмы
– логарифм числа
b по основанию а.
Основное
логарифмическое тождество:
.
– десятичный
логарифм (логарифм по основанию 10):
.
– натуральный
логарифм (логарифм по основанию е):
.
Переход от одного основания к другому:
В частности,
M – модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
Свойства логарифмов (u, v > 0):
,
.
Элементы комбинаторики. Формула Ньютона
Перестановки. Размещения. Сочетания
Число перестановок из n элементов:
(n! – n факториал)
Число размещений из n по m (n ≥ m):
Число сочетаний из n по m (n ≥ m):
Формула бинома Ньютона
Треугольник Паскаля
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
|
|
|
|
7 |
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1 |
|
|
|
8 |
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1 |
|
|
9 |
1 |
9 |
36 |
84 |
126 |
126 |
84 |
36 |
9 |
1 |
|
10 |
1 |
10 |
45 |
120 |
210 |
252 |
210 |
120 |
45 |
10 |
1 |
Числовые функции
Основные понятия
Область определения
(множество задания) функции f:
:
X = D(f).
Множество значений функции f:
.
График функции:
.
Четная функция:
.
Нечетная функция:
.
Периодическая функция (периода ω):
.
Линейная функция
Функция строго возрастает при а > 0, строго убывает при а < 0.
График функции – прямая линия.
Квадратичная
функция:
1. При а > 0 (рисунок
1–а)
функция строго убывает на
и строго возрастает на
.
График функции – парабола с осью
,
вершиной в точке
и ветвями, направленными вверх.
2. При а < 0 (рисунок 1–б) функция строго возрастает на и строго убывает на . График функции – парабола с осью , вершиной в точке и ветвями, направленными вниз.
а) |
б) |
Рисунок 1 – Квадратичная функция a)
|
|
;
б)
Степенная
функция:
1.
:
.
Функция четная, строго возрастает на
и строго убывает на
(рисунок 2–а).
2.
:
,
.
Функция нечетная, строго убывает на
и
(рисунок 2–б)
а) |
б) |
Рисунок
2 – Степенная функция: а)
|
|
;
б)
Экспонента:
(рисунок 3–а)
При a > 0 – функция строго возрастает. При a < 0 – функция строго убывает.
Показательная
функция:
(рисунок 3–б)
При 0< а< 1 функция строго убывает, при а >1 строго возрастает.
а) |
б) |
Рисунок
3 – Показательная функция: а)
|
|
;
б)
Логарифмическая функция
Логарифм натуральный:
.
Функция строго возрастает (рисунок 4–а).
Логарифм с основанием
а:
,
При 0 < а < 1 функция строго убывает, при а > 1 строго возрастает (рисунок 4–б).
а) |
б) |
Рисунок
4 – Логарифмическая функция: а)
|
|
;
б)
Логистическая функция
Уравнение Ферхюльтса:
,
При a ≥ 0 и b ≤ 0 функция строго возрастает (рисунок 5–а).
При a ≤ 0 и b ≥ 0 функция строго убывает (рисунок 5–б).
а) |
б) |
Рисунок 5 – Логистическая функция: а) , a>0, b<0; б) , a<0, b>0 |
|
Учебное издание
Жученко Юрий Михайлович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА В БИОЛОГИИ И ХИМИИ
Учебное пособие
для студентов вузов, обучающихся по специальности 1-31 01 01 «Биология»
Редактор
Корректор
Лицензия _________________________
Подписано в печать . Формат 60х84 1/16.
Бумага писчая №1. Гарнитура «Таймс». Усл. п. л.
Уч.- изд. л. Тираж 100 экз. Заказ № .
Отпечатано с оригинала-макета на ризографе
учреждения образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Лицензия _________________