- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
22Средняя и сигма суммарной группы
Иногда бывает необходимо определить среднюю и сигму для суммарного распределения, составленного из нескольких распределений. При этом известны не сами распределения, а только их средние и сигмы.
Средняя и сигма в таких случаях находятся по следующим формулам:
(7.10)
, (7.11)
где:
ni – численность отдельных объединяемых групп;
μi – средняя арифметическая каждой объединяемой группы;
i – сигма каждой объединяемой группы.
Пример
Четыре независимых наблюдения величины одного и того же вида амеб в сходных условиях дали следующие результаты (в микронах):
Наблюдения |
μ |
|
n |
1 |
29 |
2 |
150 |
2 |
31 |
3 |
50 |
3 |
30 |
3 |
100 |
4 |
31 |
2 |
100 |
По этим данным средний размер и стандартное отклонение амеб могут быть вычислены, как показано в таблице 7.4.
Разнообразие объектов, составляющих группу, – основное свойство всякой совокупности. Знание закономерностей, по которым формируется разнообразие признака в группе, имеет большое практическое и научное значение.
В малочисленных группах трудно подметить какую–либо закономерность в разнообразии данных. Обычно все значения бывают различны, повторяются без всякой видимой закономерности.
Таблица 7.4 – Вычисление μ и σ суммарной группы
Исследования |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
ni |
150 |
50 |
100 |
100 |
|
μ i |
29 |
30 |
30 |
31 |
– |
i |
2 |
3 |
3 |
2 |
– |
ni μi |
4350 |
1550 |
3000 |
3100 |
|
i2 |
4 |
9 |
9 |
4 |
|
(ni-1) i2 |
596 |
441 |
891 |
396 |
|
|
–1 |
+ 1 |
0 |
+1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
150 |
50 |
0 |
100 |
|
; ; .
23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
Для больших выборок (n > 100) вычисляют еще два статистических показателя.
Скошенность кривой называется асимметрией:
(7.12)
Правосторонняя асимметрия – отрицательна, левосторонняя – положительна.
Отклонение крутизны называют эксцессом:
(7.13)
Эксцесс положителен при островершинной кривой, отрицателен при плосковершинной.
Вопросы для самоконтроля
Для какой цели вычисляется среднее квадратическое отклонение в совокупности данных?
Среднее квадратическое отклонение как мерило изменчивости совокупности. Общая формула для него.
Если для группы из n элементов поставлено 3 условия, то каково число степеней свободы в группе?
Какую размерность имеет коэффициент вариации?
В чем разница между стандартным отклонением и коэффициентом вариации?
Как связан размах с лимитами?
Как наиболее легким способом определить приближенные значения средней арифметической и сигмы?
Что характеризует нормированное отклонение в группе?
Дать определение артефакта.
Что является критерием выпада значения признака из выборки? В каких случаях определяется средняя и сигма суммарной группы?
Принимают ли асимметрия и эксцесс положительные и отрицательные значения. Что это означает?