Вычисление отклонений функций

j
1	2	3	4	5

Вычисляется величина критерия:

. (18)

Задается доверительная вероятность:

, (19)

того, что отклонение от будет меньше табличной величины (табл. 5 приложения), установленной для доверительной вероятности . Если уравнение (19) переписать в виде:

, (20)

и вычисленная вероятность ( ) получится незначительной (мень­ше 0,05...0,10), то отклонение эмпирической функции распределения от теоретической неслучайно, т.е. плохо согласуется с . Если же разность ( ) велика (больше 0,1...0,5), то расхожде­ние между и считается несущественным и принятая гипо­теза о функции распределения считается согласованной с данными экспериментальных наблюдений.

При необходимости строят доверительную область для теоретичес­кой функции распределения. С этой целью для данной доверительной вероятности вычисляют величину:

. (21)

и на график наносят доверительные границы:

; (22)

. (23)

Если нанесенное на графике опытное распределение не выйдет за доверительные границы, установленные по формулам (22) и (23), то проверяемую гипотезу принимают, в противном случае ее отверга­ют.

3.2.6. Проверка гипотезы о виде закона распределения коэффициентами асимметрии и экспресса

Предварительно переносятся значения граф 1…3, 5 табл. 2 в графы 1…4 табл. 5.

Рассчитать значения показателей и заполнить графы 5…8 табл. 5.

Таблица 5

Последовательность вычисления коэффициента асимметрии и эксцесса

j		mj		(		(
1	2	3	4	5	6	7	8

По формуле (24) определить с учетом суммы графы 6 табл. 5 оценку коэффициента асимметрии:

. (24)

Затем по формуле (25) с учетом суммы графы 8 табл. 5 опре­деляется статистическая оценка коэффициента эксцесса:

. (25)

Если значения полученных характеристик невелики (0,04; 0,41), то подтверждается правильность принятой гипо­тезы о виде закона распределения ресурса.

3.2.7. Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим распределениями по критерии согласия χ2 Пирсона

Широкое применение критерия χ² обосновывается легкостью его использования для проверки согласия любого распределения.

Для применения критерия согласия χ² полученные эмпирические данные группируются по интервалам и сопоставляются с ожидаемым числом наблюдений для принятого закона распределения.

На основе такого сопоставления вычисляется критерий, который приб­лиженно следует распределению χ² только в том случае, если за­кон описания случайной величины выбран правильно. Если выбор гипо­тезы распределения сделан неправильно, то значение критерия превы­сит значение случайной величины, распределенной по χ² .

Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим распреде­лением производится в следующей последовательности:

- определяется число интервалов n , на которые разбиваются полученные эмпирические данные. Все интервалы рекомендуется брать одинаковой длины;

- определяются оценки проверяемого теоретического распределения по группированным значениям , считая их сконцентрированными в средней точке каждого интервала;

- подсчитывается число наблюдений в каждом интервале. Интервалы, в которых встречаемость частот (количество наблюдений) мень­ше 5, объединяются с соседними;

- определяется вероятность попадания в каждый интервал случайной величины, имеющей принятый по гипотезе закон распределе­ния;

- вероятность попадания наблюдений в интервал умножается на объем выборки n, т.е. определяется математическое ожидание числа наблюдений в каждом интервале для принятой теоретической модели;

- вычисляется критерий согласия χ², Пирсона:

, (26)

величина χ² асимптотически подчиняется распределению χ² с числом степеней свободы:

, (27)

где l - число параметров теоретического распределения;

- число интервалов после объединения.

Чем меньше полученное значение χ², тем лучше согласие между эмпирическим и теоретическим распределением.

После вычисления χ² задаются доверительной вероятностью:

. (28)

того, что величина χ² , полученная в результате случайных откло­нений частот эмпирического распределения от соответствующих час­тот теоретического распределения будет меньше табличного значения (χ*)², установленного для выбранной доверительной вероят­ности. Если вычисленное значение χ² будет меньше табличного зна­чения (χ*)², то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии эмпирического и теоретического распределения не отвергается, в противном случае ее нельзя принять. Таким образом, если вычисленное значение χ² превышает табличное при заданной доверительной вероятности, то принятая теоретическая модель отвергается но в этом случае целесообразно сравнить фактические частоты с ожидаемыми, чтобы увидеть, какие интервалы оказывают наибольшее вли­яние на величину χ². Такое сравнение наглядно показывает ха­рактер отклонения от принятой теоретической модели.

После вычисления χ² можно задаться и уровнем значимости , т.е. вероятностью:

. (29)

того, что вычисленное значение χ², превысит табличную величину (χ*)². Критическую область образуют все значения χ²>(χ*)². Заключение, что проверяемая гипотеза отвергается, т.е. опытное распределение не соответствует предполагаемому, делают, если вы­численное значение критерия согласия χ² попадает в критическую область, т.е. χ² будет больше табличного значения (χ*)², соот­ветствующего выбранному уровню значимости . При значе­нии χ²<(χ*)² гипотеза не отвергается. Уровень значимости может быть принят в пределах (0,01...0,3), значения (χ*)² приведе­ны в табл. 7 приложения.

Для проверки соответствия эмпирического распределения теорети­ческому по критерию χ² Пирсона переписывают из табл. 2 значения граф 1...3 и 10 в графы 1...4 табл. 6.

Интервалы, в которых встречаемость частот меньше 5, объеди­нить с соседними.

Вычисляется по формуле (30) вероятность попадания эмпирических данных в каждый интервал:

. (30)

Полученные результаты записываются в графу 5 табл. 6.

Рассчитываются значения показателей и заносятся в графы 6...9 табл. 6. Затем по формуле (3.26) с учетом суммы графы 9 табл. 6 рассчитывается значение критерия согласия χ² Пирсона.

Задаются доверительной вероятностью и с учетом формул (28) и (29) делают вывод о согласованности эмпирических данных с выб­ранной по гипотезе моделью теоретического распределения.

Таблица 6