- •16/17/18. Способы задания движения точки
- •19/ Поступательное движение
- •20/ Вращение тела вокруг неподвижной оси
- •21/ Плоское движение твердого тела.
- •22/ Скорости точек тела при плоском движении
- •23/ Мгновенный центр скоростей
- •2 4/ Ускорение точек тела при плоском движении
- •25/ Мгнове́нный центр ускоре́ний
- •26/ Относительное, переносное и абсолютное движения.
- •27/ Теорема о сложении скоростей.
- •29/ Зако́ны Ке́плера
- •(Закон эллипсов)
- •Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
- •(Закон площадей)
- •Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
- •Третий закон Кеплера (гармонический закон)
- •30/ Уравнение орбиты
- •Варианты уравнения Кеплера
- •[Править]Задача, приводящая к уравнению Кеплера
- •[Править]Эллиптическая орбита
- •[Править]Гиперболическая орбита
- •[Править]Параболическая орбита [править]Радиальная орбита [править]Решение уравнения Кеплера
- •31/ Орбитальная скорость
- •32/ Первая космическая скорость
- •[Править]Вычисление
- •[Править]Вычисление
16/17/18. Способы задания движения точки
Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отмечалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обязательно всегда задавать сами координаты; можно использовать величины, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.
Рис. 1 |
а) траекторию движения (относительно какой-либо системы координат);
б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;
в) положительное направление отсчета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);
г) начало отсчета времени t;
д) функцию S(t), которая называется законом движения точки.
2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и исчерпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:
а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;
б) начало отсчета времени t;
в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).
3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторого начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания движения необходимо задать:
а) начало отсчета радиус-вектора r;
б) начало отсчета времени t;
в) закон движения точки r(t).
Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от векторного способа легко перейти к координатному. Если ввести единичные векторы i, j, k ( i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде
r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k
Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.
19/ Поступательное движение
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
20/ Вращение тела вокруг неподвижной оси
Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Под абсолютно твердым телом понимают такое, у которого остаются неизменными расстояния между любыми его точками. Такое тело не может испытывать деформаций. При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях и все дуги содержат одинаковое число дуговых градусов.
Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа. Этим единственыи числом может быть, например, угол φ , на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения, принятого за нулевое.
При вращении тела вокруг неподвижной оси угол φ меняется с течением времени.
Угловая скорость. Угловая скорость w вращающегося тела – это быстрота изменения угла поворота φ (t) вокруг оси :
w = lim Δ φ / Δ t = dφ /dt
D t ® 0
Обычно угол измеряется в радианах, время – в секундах, угловая скорость – в радианах в секунду.
V = Rw
Видно, что линейная скорость точек тела при вращении, в отличие от угловой скорости, различна и зависит от радиуса окружности.
Угловое ускорение. Если тело вращается равномерно, т.е. с постоянной угловой скоростью w , то каждая точка тела движется также с постоянной по величине линейной скоростью по окружности своего радиуса. Если вращение неравномерное, т.е. угловая скорость меняется со временем (увеличивается или уменьшается), то вводят величину, характеризующую быстроту ее изменения – угловое ускорение:
b = lim Δ w / Δ t = dw /dt
D t ® 0
Если Δ w > 0, то угловая скорость возрастает, угловое ускорение положительно; при
D w < 0 угловая скорость убывает и угловое ускорение отрицательно.
Частный случай вращения – вращение с постоянным угловым ускорением – равноускоренное или равнозамедленное вращение:
b = const
В этом случае угловая скорость вращения меняется по закону: w (t) = w o + b (t – to), где w o – начальная угловая скорость в момент времени to. Если to = 0, то
w (t) = w o + b t
Угол поворота φ в момент времени t в этом случае будет равен:
j (t) = φ o + w o (t – to) + b (t – to)2/2 .
При to = 0 имеем:
φ(t) = φo + wot + bt2 / 2
Здесь φ o – угол поворота в начальный момент времени.