![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
5.3. Аппроксимация при помощи кривых и поверхностей Безье
Многочлены Безье используются для приближённой параметрической аппроксимации в том случае, когда нужно провести плавную кривую, проходящую вблизи множества точек – ориентиров. Французский математик Безье разработал их, выполняя исследования для фирмы «Рено».
В многочленах Безье в качестве базисных функций используются полиномы Бернштейна
B(m,p,i)=Ci m (1-p)i pm-i , (5.13)
где Сim = m! / [i! (m-i)!] - число сочетаний из i по m .
Полиномы Бернштейна могут быть интерпретирова-ны как слагаемые в биноме Ньютона следующего вида:
1m
= [(1-p)+ p] m
=
(1-p) m+
m(1-p)m-1p+
0,5m(m-1)(1-p)m-2p2
+
. . . + m
(1-p)
p
m-1+
p
m
110
Допустим, заданы m+1 упорядоченная точка – ори-ентирP0, P1,…,Pm на плоскости 0xy. Координаты каждой точкиPi=(xi , yi). Ломаная, которая последовательно соеди-няет точкиP0, …,Pm (Рис.5.7), называется опорной:
Рис.5.7
Многочлен Безье вводится следующим образом:
Его можно представить как приведенный выше бином Ньютона, у которого каждое i-ое слагаемое умножается на
точкуPi. Полиномы Бернштейна являются базисными функциями. Параметр кривой р изменяется на кривой в пределах 0 р 1. Уравнение справедливо для точек любой размерности – и для плоских и для пространственных. На Рис. 5.8 даны примеры кривых Безье для случаев m=3,4.
Свойства кривых Безье .
К
ривая Безье проходит через первую и последнюю точку кривой: P(0)=P0 , P(1)=Pm. Во внутренних точках кривой 0 < p <1.
111
Рис.5.8
В точках P(0)=P0 , P(1)=Pm кривая касается, соответ-ственно, отрезков P0P1 , Pm-1Pm опорной ломаной.
Точность приближения многочлена Безье к точкам – ориентирам можно сколь угодно увеличить, вводя крат-ные точки, когда в одной физической точке распола-гается не одна , а несколько точек - ориентиров.
Сумма коэффициентов в кривых Безье всегда равна 1. Это следует из вышеприведенного бинома Ньютона.
Н
а
Рис.5.9 показано изменение формы многочлена
Безье при кратности средней точки ,
равной 1,2,3 (кривые 1,
Рис.5.9
112
2,3). Если в каждой точке-ориентире кратность устремить к бесконечности, то многочлен Безье в пределе будет стре-миться к опорной ломаной.
C физической точки зрения многочлен Безье можно представить в виде ленты из магнитного материала, а точки- ориентиры – в виде одинаковых магнитов , притягивающих ленту. Чем выше кратность точки, тем сильнее она притя-гивает ленту.
Поверхности Безье, как и кривые, используются в тех случаях, где требуется не точное прохождение поверхности через множество заданных пространственных точек, а полу-чение гладких поверхностей эстетичного вида, проходящих вблизи этих точек. Они определяются как тензорное произ-ведение двух полиномов Безье с использованием двух пара-метров u и v :
г
де
{Рi
j
} -
двумерный список точек в пространстве,
с по-мощью которого задаётся поверхность,
а (m+1)
и (n+1)
– количество точек по u
и v.
Поверхность Безье, как и кривая, точно
проходит только через крайние (угловые)
точки заданной матрицы. Например, для
m=n=2
(Рис.5.10) уравнение поверхности следующее:
где
- матрица из
координат опорных
113
точек.
Рис 5.10
Для визуализации поверхности на ней проводятся линии уровня. Линии уровня по u описываются уравнением:
где v0=const, 0 ≤ u ≤ 1.
Линии уровня по v вводятся аналогично:
114
u0 = const, 0 ≤ v ≤ 1.
Программы на языке AutoLISP для построения плос-кой и пространственной кривой Безье в среде AutoCAD да-ны в Приложении (bez_2d, bez_3d) . Функция BEZP на языке Autolisp для построения линий уровня поверхности Безье, проекций её линий уровня на плоскость z=0 и соот-ветствующая отладочная функция также приведены в Приложении.
Задачи.
1. В чем принципиальное отличие аппроксимации при помощи кривых и поверхностей Безье от равномерного и среднеквадратичного приближений ?
2. Строго доказать, что любая кривая Безье проходит через первую и последнюю точку опорной ломаной: P(0)=P0 , P(1) = Pm.
3. В общем случае при отсутствии кратных точек на опор-ной ломаной кривая Безье не проходит точно через её про-межуточные точки. Построить пример, в котором кривая Безье точно проходит через промежуточную точку опорной ломаной – например при p = 0,5. Дать строгое обоснование примера.
4. Доказать на примере случая m = n = 2, что поверхность Безье точно проходит через крайние (угловые) точки заданной двухмерной матрицы точек {Рij }.
5. Написать программу, рекурсивно вычисляющую для за-данного m последовательность чисел сочетаний С0m , С1m , С2 m ,…, Сm-1 m , Сm m .
6. C помощью программы bez_2d смоделировать плоские кривые, близкие по форме к: а) цифре “8”, б) цифе “3”, в) цифре “6”, г) букве “с”, д) букве “е”, д) букве “s”.
115