5.2. Аппроксимация алгебраическими многочленами по критерию наилучшего равномерного приближения

Допустим, на отрезке х[a,b] задана некоторая кривая y=f(x). Необходимо аппроксимировать ее алгебраическим многочленом заданной степени n таким образом, что-бы максимальное отклонение  величины  f (x) - P_n (x) на отрезке [a,b] было минимальным.

Определение. Многочлен , при котором дости-гается минимум величины максимального отклонения  мо-дуля разности f(x)-P_n(x), называется многочленом наи-лучшего равномерного приближения функции f(x) на отрез-ке [a,b].

Обозначим минимально возможное отклонение (для фиксированной степени n) через _min. В математической форме его связь с можно представить в виде:

 _min = min maxf(x)-P_n(x) = max f(x)- P⁰_n(x).

х[a,b] х[a,b]

Необходимые и достаточные условия на многочлен наилучшего равномерного приближения P⁰(x) (при котором достигается минимум отклонения _min) задает

Теорема Чебышева

Для того, чтобы многочлен P⁰_n(x) был многочленом наилучшего приближения для непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b], необходимо и достаточно, чтобы существо-вали по крайней мере (n+2) точки а x₀ < x₁ < . . . < x_n+1  b, в которых

f(x_i ) - P⁰_n(x_i)=(-1)ⁱ_min , i=0,1,...,n+1,

где  = (+1) либо (-1) одновременно для всех точек x_i (i = 0,1,...,n+1),

_min - минимально возможное отклонение.

103

По Теореме многочлен P⁰_n(x) должен по крайней мере (n+2) раз отклоняться по оси y на величину  _min от функции f(x), причем знак отклонения при последовательном прохо-ждении точек x₀ ,..., x_n+1 каждый раз изменяется на противо-положный.

Определение. Набор точек (x₀, ..., x_n+1), в которых раз-ность f(x_i ) - P⁰_n(x_i) попеременно достигает величины (+_min) и (-_min), называется чебышевским альтернансом .

На Pис.5.3, 5.4 показаны примеры наилучших равно-мерных приближений при n=0 (горизонтальный отрезок прямой) и n=1 (наклонный отрезок прямой) для некоторой функции f(x).

Рис.5.3 (n=0)

104

Рис.5.4 (n=1)

В общем случае (для произвольных функций f(x)) за-дача определения многочлена наилучшего равномерного приближения аналитического решения не имеет.

Для функции f(x)=0 на отрезке [-1,+1] аналитическое решение для многочленов P_n(x)со старшим коэффициентом (при x ), равным 2 , дано Чебышевым.

С реди всех данных многочленов наилучшее равномер-ное приближение дают многочлены T (x), которые опреде-ляются рекуррентной формулой

n=0; Т₀(x) =1;

n =1; Т₁(x) =x; ( 5.9)

n 2; Т_n(x)=2x Т_n-1(x) - Т_n-2(x).

105

Поскольку функция cos(n arccos x) также удовлетво-ряет соотношениям (5.9), то в тригонометрической форме многочлены Чебышева можно представить в виде:

Т_n(x) =cos(n arccos x). ( 5.10)

Используя рекуррентную формулу (5.9) и выражение (5.10), многочлены Чебышева при n2, можно найти в алгебраическом и тригонометрическом виде:

T₂(x) = 2x² –1 = cos(2 arccos x);

T₃(x) = 4x³ –3x = cos(3 arccos x);

T₄(x) = 8x⁴ – 8x² + 1 = cos(4 arccos x);

T₅(х) = 16x⁵ – 20x³ +5x = cos(5arccos x) и т.д.

Несложно заметить, что при четном n полином Т_n яв-ляяется четной функцией (как сумма четных степеней х). При n нечетном Т_n(x) является нечетной функцией. При –1  x  1 выполняется ограничение

Т_n(x)=cos(n arccos x) ,

поэтому максимальное отклонение _min у всех Т_n(x) равно1. Графики многочленов Т₀(x), Т₁(x), Т₂(x) показаны на Рис.5.5.

Координаты точек альтернанса можно найти из уравнения T_n(x)=cos(n arccos(x)=1.

Решением являются значения

х_i = cos(i/n); i=0,...,n. ( 5.11)

Если функция f(x)=0 задана на произвольном интер-вале [a, b], то точки альтернанса и сам многочлен Чебыше-ва можно получить для нее с помощью линейной замены

x = 0,5[(b+a)+(b-a)x],

переводящей точки из отрезка [-1,1] в точки отрезка [a,b]. Применяя замену к значениям (5.11), получим что коорди-наты точек альтернанса функции f(x)=0 на отрезке [a, b] равны

x_i = 0,5[(b+a)+(b-a) cos(i/n)], , i=0,...,n (5.12)

106

Рис.5.5

В случае произвольного задания кривых y = f(x) для определения многочленов наилучшего равномерного при-ближения применяют численные итерационные алгоритмы. Наиболее употребительны алгоритмы, в которых искомый полином P_n(x) и отклонение _min определяются следующим образом.

ШАГ 1. Задаются начальные приближения точек альтер-нанса х⁰_i ( i=0,...,n+1). Если по характеру приближаемой функции нельзя сделать никаких предположений о значе-ниях х⁰_i, то в их качестве принимают значения x_i для функции f(x)=0 для степени n+1:

х⁰_i = 0,5[(b+a)+(b-a) cos(i/(n+1))], i=0,...,n+1.

ШАГ 2. Допустим, осуществляется итерация с некоторым номером j (j=1,2,…). К началу ее известно очередное при-ближенное значение точек альтернанса х^(j-1)_i (i=0,...,n+1).

107

Необходимо построить многочлен P^j_n(х)= , кото-рый в точках х^(j-1)_i знакопеременно отклоняется от f(x) на некоторую постоянную по модулю величину ^(j)). Неиз-вестными в этой задаче являются коэффициенты a^(j)₀ , . . . , a^(j)_n многочлена P^j_n(х) и ^(j) . В математической форме

отклонения в точках альтернанса можно представить в следующем виде:

P^j_n(х^(j-1)_i) - f(х^(j-1)_i)=(-1) ⁱ ^(j), i=0,...,n+1.

Перенося слагаемые, содержащие неизвестные, в ле-вые части уравнений, а известные значения функций – впра-во, получаем систему линейных уравнений относительно (a^(j)₀ , . . . , a^(j)_n , ^(j)):

; i=0,...,n+1.

Поскольку определитель системы всегда отличен от нуля, то решение ее (a^(j)₀ ,..., a^(j)_n , ^(j)) существует и един-ственно.

В силу того, что значения точек альтернанса (х^(j-1)_i) известны приближенно, то найденное отклонение ^(j) будет по модулю меньше искомого, ещё не известного равно-мерного отклонения _min (Рис.5.6) Это условие можно использовать для коррекции положения точек альтернанса ШАГ 3. Коррекция альтернанса Задается некоторое посто-янное число q, такое что 0<q<1. В окрестности каждой точки альтернанса (х^(j-1)_i) определяется ближайшая точка х_imax , в которой разность

P^j_n(х_imax) – f(х_imax)= _imax

1. максимальна по модулю,

2. имеет тот же знак, что и ^(j).

Последующее положение точки альтернанса х^(j)_i выбира-ется между х^(j-1)_i и х_imax из условия:

108

Рис.5.6

P^j_n(х^(j)_i)-f(х^(j)_i)=^(j)+ q(_imax - ^(j) ).

После коррекции всех точек альтернанса их новые положения (х^(j)_i) сравниваются с предыдущими х^(j-1)_i. Если у всех точек

 _i =x^(j-1)_i - x^(j)_i  ; i=0,...,n+1,

где  - некоторое малое наперед заданное число, то процесс заканчивается. При этом найденный многочлен принима-ется в качестве искомого:

P_n(х)= P^j_n(х),

а оптимальное равномерное отклонение:

_min = ^(j) .

Если хотя бы одна разность  _i > , т.е. имела место значительная корректировка альтернанса, то переходим на ШАГ 2 и осуществляем следующую итерацию.

Задачи.

1. Построить многочлены наилучшего равномерного при-ближения P₀(x) для функции f(x)=sin(x) на отрезках:

109

а) [0,/2];

б) [0,];

в) [0,2].

2. Доказать, что на отрезке [0,4] многочлены наилучшего равномерного приближения P₀(x) и P₁(x) для функции f(x) = cos(x) совпадают.

3. Какова будет величина минимально возможного макси-мального отклонения _min у многочлена наилучшего равно-мерного приближения P₂(x) для функции f(x) = х² + 1 на отрезке [0,1]? Ответ обосновать.