35.Основное уравнение Кинетической теории газов.

<E_K>=(i/2)kT где k является постоянной Больцмана (отношение универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро NA), i — число степеней свободы молекул (i = 3 в большинстве задач про идеальные газы, где молекулы предполагаются сферами малого радиуса, физическим аналогом которых могут служить инертные газы), а T - абсолютная температура.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной l и одна частица массой m в нём.

Обозначим скорость движения vx, тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен mvx, а после — − mv_x, поэтому стенке передается импульс p = 2mv_x. Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно t=2l/v_x.

Отсюда следует: F_X=p/t=(2mv_X²)/2l. Так как давление p=F/S, следовательно сила F = Ps. Подставив, получим: P_Xs=(MV_X²)/l.

Преобразовав: P_X=(mv_X²)/ls . Так как рассматривается кубический сосуд, то V = Sl. Отсюда: P_X=(mv_X²)/V, Соответственно,P_Y=(mv)_Y²)/V и P_Z=(mv_Z²)/V. Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: P_X=N((mv_X²)/V), аналогично для осей y и . Поскольку v²=v_x²+v_y²+v_z² , то v_x²=v_y²=v_z²=(1/3)v² Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.Отсюда P_X=P_Y=P_Z=P=(Nmv²)/3V или PV=(N/3)mv².

Пусть E_K — среднее значение кинетической энергии всех молекул, тогда: P_V=(2/3)E_K=ʋRT , откуда E_K=(3/2) ʋRT. Для одного моля выражение примет вид E’_K=(3/2)RT.

36.З-Н Распределения молекул по скоростям (распред. Максвелла). Среднеквадратичная, средняя арифметическая и наиболее вероятная скорости.

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа. E_K=(1/2)Nmv²=(3/2)RT для 1 моля N = N_a, где N_a — постоянная Авогадро. N_am = M_r, где M_r — молярная масса газа

Отсюда окончательно: v=корень из (3RT/M_r).

Средняя скорость: <v>= интеграл от0 до бесконечности от (v f(v)dv) <v>= корень из ((8KT)/ПИ*m)= корень из ((8RT)/ПИ*µ)

Наиболее Вероятная скорость : V_P=корень из((2KT)/m)= корень из((2RT)/µ)

Максвелловское распределение молекул по их скоростям и энергиям

1. Возьмем идеальный газ. В результате столкновений молекул газа, их скорости все время изменяются, но в газе создается некоторое стационарное распределение молекул по их скоростям .

Пусть температура газа T = 300K.

Интервал скоростей	Доля молекул, имеющих скорости в заданном интервале

Эта таблица называется - распределением молекул по скоростям. Из этого распределения видно, что существует какая-то наиболее вероятная скорость.

2. Максвелл в 1860 г. получил формулу, которая описывает распределение молекул по скоростям:

Максвелловское распределение молекул по их скоростям

где n – число молекул в единице объема,dn – число молекул в единице объема, имеющих скорость в интервале от v до v + dv,m – масса молекулы,k – постоянная Больцмана,T – температура.

3. Построим кривые Максвелла для двух температур ( ).

Физический смысл кривой Максвелла: dn/dv - число молекул, имеющих скорости в единичном интервале скоростей. Возьмем узкую полоску, которую можно считать прямоугольной. Ее площадь равна :(dn/dv)dv=dn.Тогда площадь под всей кривой Максвелла равна n.

4. Для того, чтобы придать вероятностный характер распределению Максвелла, введем новую функцию : dn/ndv=f(v) - функция распределения Максвелла молекул по их скоростям.

График этой функции имеет аналогичный вид, но теперь площадь под кривой f(v) равна 1.dn/n - имеет смысл вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до . Согласно определению функции имеем dn/dn=f(v)dv , откуда видно, что f(v) - плотность вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от до .Это очень важная величина в теории вероятности, позволяющая вычислять среднее значение любой физической величины, являющейся функцией скорости .

5. От распределения молекул по скоростям можно перейти к распределению молекул по их кинетической энергии . Для этого надо в распределении молекул по скоростям выразить и через и . , .

Производя вычисления, получим

- Максвелловское расрпеделение молекул по их кинетическим энергиям.

Аналогично вводится :

- функция распределения Максвелла молекул по их энергиям.

1. <v_кв> - средняя квадратичная скорость молекул.

Для нахождения <v_кв> можно воспользоваться выражением для средней кинетической энергии <> поступательного движения молекул

, или вычислить интеграл

- средняя квадратичная скорость молекул

2. <v> - средняя арифметическая скорость молекул.

3. - наиболее вероятная скорость молекул

Это скорость молекул, при которой функция распределения имеет максимум. Возьмем производную от , и приравняв ее нулю, получим уравнение для нахождения :

( df(v_в))dv=0 df , -(mv_в³/kT)+2v_в=0, v_в²=2kT/m,

- наиболее вероятная скорость молекул

- средняя арифметическая скорость молекул