28.Теплоемкости одноатомных и многоатомных газов:

Так как энергия одной молекулы идеального газа (3/2)*kt , то внутренняя энергия одного моля идеального газа равна: U=(m/ϻ)*(3/2)RT , а ее изменение: dU=(m/ϻ)*(3/2)RdT.

Теплоёмкости одноатомных газов С_V и С_Р : CV= dU/dT=(3/2)*R=12,5 Кдж/моль*К

где теплоемкость при постоянном объеме С_V – величина постоянная, от температуры не зависит.

Учитывая физический смысл R для изобарических процессов, можно записать: dQ_p=dU_ϻ+RdT (для одного моля) Тогда теплоемкость при постоянном давлении для одноатомных газов: C_P=(3/2)*R+R или C_P=(5/2)*R= 20,8 Кдж/моль*К . Полезно знать соотношение: C_P/C_V=y ,где γ - коэффициент Пуассона, y=20,8/12,5=1,67

Так как y=C_P/C_V=(C_V+R)/C_V=1+(R/C_V) , то y-1=R/C_V . Из этого следует, что­ C_V=R/(y-1)

Кроме того,y=(i+2)/i , где i – число степеней свободы молекул. Подставив в выражение для внутренней энергии, получим: U=(m/ϻ)C_VT=(m/ϻ)(R/(y-1))T . Так как ,PV=(m/ϻ)RT то внутреннюю энергию можно найти по формуле U=(PV)/Y-1) .

Теплоемкости многоатомных газов:

Опыты с двухатомными газами, такими как азот, кислород и др., показали, что C_V=20,8 (кдж/кмоль*к)

Для водяного пара и других многоатомных газов (СН3, СН4 и так далее) C_V=25 (кдж/кмоль*к)

Таким образом, молекулы многоатомных газов нельзя рассматривать как материальные точки. Необходимо учитывать вращательное движение молекул и число степеней свободы этих молекул. Числом степени свободы (i) называется число независимых переменных, определяющих положение тела в пространстве. Положение одноатомной молекулы, как и материальной точки, задаётся тремя координатами, поэтому она имеет три степени свободы. у двухатомных молекул пять степеней свободы (i = 5), а у трёхатомных шесть степеней свободы (i = 6). При взаимных столкновениях молекул возможен обмен их энергиями и превращение энергии вращательного движения в энергию поступательного движения и обратно. Таким путём было установлено равновесие между значениями средних энергий поступательного и вращательного движения молекул. Больцман доказал, что для не слишком низких температур средняя энергия <K> , приходящаяся на одну степень свободы, равна 1/2kT.

29.PV-диаграммы.Изохорный и изобарный процессы:

Изохорный процесс V=P/T=const— это термодинамический процесс, который происходит при постоянном объёме. Для осуществления изохорного процесса в газе или жидкости достаточно нагревать (охлаждать) вещество в сосуде, который не изменяет своего объёма.

При изохорическом процессе давление идеального газа прямо пропорционально его температуре. В реальных газах закон Шарля не выполняется.

На графиках изображается линиями, которые называются изохоры. Для идеального газа они являются прямыми во всех диаграммах, которые связывают параметры: T (температура), V (объем) и P (давление).

Из определения работы следует, что изменение работы при изохорном процессе равно: ϬA=PdV

Чтобы определить полную работу процесса проинтегрируем данное выражение. Поскольку объем неизменен, то: интеграл от 0 до А от ϬA = интегралу от V₁ до V₁ от PdV,Но такой интеграл равен нулю. Итак, при изохорном процессе газ работы не совершает: A=0.Графически доказать это намного проще. С математической точки зрения, работа процесса — это площадь под графиком. Но график изохорного процесса является перпендикуляром к оси абсцисс.

Таким образом, площадь под ним равна нулю.

Изменение внутренней энергии идеального газа можно найти по формуле: ΔU=(i/2)ʋRΔT,где i — число степеней свободы, которое зависит от количества атомов в молекуле (3 для одноатомной (например, неон), 5 для двухатомной (например, кислород) и 6 для трёхатомной и более (например, молекула водяного пара)).Из определения и формулы теплоёмкости и, формулу для внутренней энергии можно переписать в виде: ΔU=ʋc_ʋ^µΔT,где c_ʋ^µ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.Используя первое начало термодинамики можно найти количество теплоты при изохорном процессе: Q=ΔU+A

Но при изохорном процессе газ не выполняет работу. То есть, имеет место равенство: Q= ΔU= ʋc_ʋ^µΔT,то есть вся теплота, которую получает газ идёт на изменение его внутренней энергии.

Термодинамика изохорического процесса: V=const

Рассмотрим закон, описывающий этот процесс и его график в координатах (P,V). Этот закон является частным случаем уравнения состояния идеального газа: PV = RT.

рис.2. . - закон Шарля.

Так как , то и , т.е

- работа совершаемая газом при изохорическом процессе равна нулю.Тогда - первое начало термодинамики для изохорического процесса.Поскольку количество теплоты, сообщенное газу, равно ,где - молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме, то мы получаем полезную формулу для подсчёта приращения внутренней энергии газа: - изменение внутренней энергии газа.Сравнивая эту формулу с другой формулой dU=v(i/2)RdT получим выражение для молярной теплоёмкости газа при постоянном объёме: C_V=(i/2)R

Изобарный процесс ( P=V/T= const)

Изобарным процессом называют квазистатический процесс, протекающий при неизменным давлении p. Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества вещества ν имеет вид: V=V₀αT, где V₀ – объем газа при температуре 0 °С. Коэффициент α равен 1/273,15 К–1. Его называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.

На плоскости (V, T) изобарные процессы при разных значениях давления p изображаются семейством прямых линий ,которые называются изобарами. Зависимость объема газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком Ж. Гей-Люссаком (1862 г.). Поэтому уравнение изобарного процесса называют законом Гей-Люссака. Экспериментально установленные законы Бойля–Мариотта, Шарля и Гей-Люссака находят объяснение в молекулярно-кинетической теории газов. Они являются следствием уравнения состояния идеального газа.

Термодинамика изобарического процесса: P=const.Соотношение Майера

Сначала рассмотрим закон, описывающий этот процесс и его график в координатах (P,V).

Рис. 2

- закон Гей-Люссака.

Теперь работа, совершаемая газом,

приращение внутренней энергии газа тоже не равно нулю , и первое начало термодинамики не меняет своего вида:

первое начало термодинамики для изобарического процесса.

Формула для подсчёта теплоты теперь примет вид где - молярная теплоёмкость газа при постоянном давлении.Приращение внутренней энергии запишем в виде

Работу, совершаемую газом, также представим в аналогичном виде

Здесь мы воспользовались уравнением Менделеева-Клапейрона дифференциальное уравнение которого при дает Из выражения для работы следует размерность и физический смысл универсальной газовой постоянной R: R=dA/vdT Универсальная газовая постоянная R численно равно работе, совершённой одним молем газа при изобарическом процессе при увеличении его температуры на один градус.Продолжим рассмотрение изобарического процесса. Подставляя полученные выражения для dQ, dU, dA в первое начало термодинамики, получим:

Сокращая на dT, получим соотношение между молярными теплоёмкостями газа при постоянном объёме и постоянном давлении : - соотношение Майера

Рис. 3

- работа, совершаемая газом при изобарическом процессе.

На графике (P,V) работа, совершаемая газом, численно равна площади прямоугольника, построенного под изобарой.