Расчет цепей с несинусоидальными периодическими источниками

При подаче на вход периодической синусоидальной функции:

1. Раскладываем в ряд Фурье.

2. Рассчитываем схему по принципу суперпозиций, т. е. . Расчет комплексным методом:

Е сли источники представить в ряд Фурье, то в расчете можно использовать принцип суперпозиций. Отдельно взятая гармоника рассчитывается с помощью метода комплексных амплитуд.

Комплексная форма ряда Фурье:

(2)

- комплексная амплитуда гармоники

- комплексно сопряженная амплитуда гармоники

Можно найти комплексное максимальное значение:

Действующее значение

- во временной области

- в частотной области

- действующее значение

Если , то .

Если , то .

Модели двухполюсных элементов в частотной области

(2)

(3)

1. Резистивный элемент:

На резистoре не происходит изменение фазы

2. И ндуктивный элемент:

- комплексное сопротивление индуктивного элемента

, где - сопротивление индуктивного элемента

Вектор напряжения опережает ток на 90⁰

3. К онденсатор (емкость):

- комплексное сопротивление конденсатора

, где - сопротивление конденсатора

Напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰

Введем - комплексная проводимость:

Законы Кирхгофа в комплексной форме.

Комплексно-символьный метод расчета электрических цепей синусоидального тока и напряжения

Во временной области	В частотной области

Комплексное сопротивление и проводимость

Рассмотрим пассивный двухполюсник:

, где - модуль входного комплексного сопротивления, - аргумент комплексного сопротивления

, где - активное сопротивление, - реактивное сопротивление

С хемы замещения пассивных двухполюсников:

- комплексная проводимость

, где - активная проводимость, - мнимая проводимость

Схемы замещения пассивных двухполюсников:

Основные теоремы и принципы расчета цепей синусоидального тока и напряжения.

1. Законы Кирхгофа:

. .

AI^в=0 –1й закон BU^в=0 – 2й закон

2. принцип суперпозиции:

Ток в любой ветви линейной схемы равен алгебраической сумме от действия каждого источника в отдельности:

r → Z=r±jx

g → У=g±jb

3. Метод эквивалентного генератора или активного двухполюсника:

Z_вх=r_вх±jx_вх

Z_н=r_н±jx_н

У_вх=1/z_вх

4. Метод узловых потенциалов:

Y^у*φ=J^у

Y^у=A*Y^в*A^т ---- матрица узловых проводимостей

J^у=A*J-A*Y^в*E^в

Мощность цепи синусоидального тока и напряжения.

1. Мгновенная мощность:

P(t)=U(t)*i(t)

U(t)=U_max*sin(ωt+ψ_u)

i(t)=I_max*sin(ωt+ψ_i)

P(t)=U_max*I_max*sin(ωt+ψ_u)*sin(ωt+ψ_i)= *[cos(ψ_u- ψ_i)-cos(2ωt+ ψ_u+ ψ_i)]

ψ_u - ψ_i=φ

А ктивная мощность - средняя за период. 0

P=

=

P=U*I*cos(φ) [Вт]

Реактивная мощность:

Q=U*I*sin(φ) [ВАР] – вольт-ампер реактивная

Комплексная мощность:

S̃= * =U*e^jψu * I * e^-jψI=U*I*e^{j(ψu - ψI)}=U*I*e^jφ=

=U*I*cos(φ)+j*U*I*sin(φ)=P+jQ

S̃=[Вольт Амперы]

S – полная мощность

S= =UI

Рассмотрим z=r±jx

Если z=r, тогда P=

Если z=jx, тогда P=0; S̃=P+jQ=jωL

 Z_L → Q>0

Если z=-jx, тогда P=0; S̃=-j*

Z_C → Q<0