
- •1.Матрицы.Операции над матрицами,их свойства.Транспонирование матрицы.
- •2.Определители 2-го и 3-го порядков,их вычисление.
- •3.Системы линейных уравнений.Правило Крамера
- •4.Понятие минора и алгебраического дополнения элемента определителя матрицы. Определители n-го порядка,свойства определителей.
- •5.Обратная матрица.Способы нахождения. Достаточное условие существования обратной матрицы.
- •6. Матричная форма записи систем линейных уравнений.Решение систем с помощью обратной матрицы
- •7.Понятие линейной зависемости,независемости строк(столбцов) матрицы. Необходимое и достаточное условия линейной зависемости столбцов матрицы.
- •8.Ранг матрицы.Базисный минор.Теорема о базисном миноре(без доказательства)
- •9. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы
- •10. Критерий равенства нулю определителя матрицы(с докозательством)
- •11.Системы линейных алгебраических уравнений,их разновидности.Понятие решения,совместности,определенности системы
- •12.Теорема Кронекера Капелли. Доказательство
- •13.Метод Гаусса исследования и решения систем линейных уравнений.
- •14.Системы однородных линейных уравнений. Условие единственности решения.
- •15.Линейные пространства:определение,примеры.
- •16.Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и их свойства.
- •17.Проекция вектора.Разложение вектора по системе вектора. Координаты вектора.
- •18. Декартовы координаты точки, вектора. Деление отрезка в заданном отношении.
- •19.Понятие коллинеарности и компланарности векторов.
16.Пространство геометрических векторов. Операции с векторами и их свойства.
Пространство геометрических векторов
Операции над векторами
Сложение
Операцию сложения геометрических векторов можно определить по разному, в зависимости от ситуации и типа расматриваемых векторов:
Два вектора u, v и вектор их суммы
Правило
треугольника.
Для сложения двух векторов
и
по
правилу треугольника
оба эти вектора переносятся параллельно
самим себе так, чтобы начало одного из
них совпадало с концом другого. Тогда
вектор суммы задаётся третьей стороной
образовавшегося треугольника, причём
его начало совпадает с началом первого
вектора, а конец с концом второго вектора.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
А модуль (длину)
вектора суммы
определяют
по теореме
косинусов
где
—
угол между векторами, когда начало
одного совпадает с концом другого. Так
же используется формула
теперь
—
угол между векторами выходящими из
одной точки.
Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.
Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.
Сложение коллинеарных скользящих векторов
Если скользящие
векторы параллельны, то при их сложении
главная трудность состоит в определении
прямой, на которой будет расположена
их сумма. (Величину и направление вектора
суммы было бы естественно определить
точно так же, как и в случае сложения
свободных векторов.) В механике
при изучении статики
для решения вопроса о сложении параллельных
сил, которые, как известно, задаются
скользящими векторами, вводится
дополнительная гипотеза: к системе
векторов можно добавить два вектора,
равных по величине, противоположных по
направлению и расположенных на одной
прямой, пересекающей прямые, на которых
расположены данные вектора. Пусть,
например, надо сложить скользящие
векторы
и
,
расположенные на параллельных прямых.
Добавим к ним векторы
и
,
расположенные на одной прямой. Прямые,
на которых расположены векторы
и
,
и
пересекаются.
Поэтому определены векторы
Прямые, на которых
расположены векторы
и
,
пересекаются всегда, за исключением
случая, когда векторы
и
равны
по величине и противоположны по
направлению, в котором говорят, что
векторы
и
образуют
пару
(векторов).
Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.
Векторное произведение
Основная статья: Векторное произведение
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними
вектор ортогонален каждому из векторов и
вектор
направлен
так, что тройка векторов
является
правой.
Обозначение:
Геометрически
векторное произведение
есть
ориентированная площадь
параллелограмма,
построенного на векторах
,
представленная псевдовектором,
ортогональным этому параллелограмму.
Свойства векторного произведения:
При перестановке
сомножителей векторное произведение
меняет знак (антикоммутативность),
т.е
Векторное произведение
обладает сочетательным
свойством
относительно скалярного множителя, то
есть
Векторное произведение
обладает распределительным
свойством:
Смешанное произведение
Основная статья: Смешанное произведение
Сме́шанное
произведе́ние
векторов
—
скалярное
произведение
вектора
на
векторное
произведение
векторов
и
:
(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).
Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .