3.Системы линейных уравнений.Правило Крамера

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

4.Понятие минора и алгебраического дополнения элемента определителя матрицы. Определители n-го порядка,свойства определителей.

Минор матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ― угловым или ведущим главным.

Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где  — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное

где — определитель квадратной матрицы полученной из матрицы A вычеркиванием превой строки и j-го столбца.

Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементы матрицы.

Свойства определителей

Для определителей справедливы следующие утверждения, называемые свойствами определителей.

Определитель не изменяется при транспонировании: detA^T=detA.

Если строка (столбец) матрицы A равна линейной комбинации соответственных строк (столбцов) матриц A и B, а остальные строки (столбцы) этих матриц совпадают, то ее определитель равен линейной комбинации определителей матриц A и B:

A_i = a·B_i + b·C_i, detA = a·detB + b·detC,

A^(j) = a·B^(j) + b·C^(j), detA = a·detB + b·detC .

При перестановке любых двух строк (столбцов), определитель меняет знак.

Если в определителе есть две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Если в определителе есть две пропорциональные строки (два пропорциональные столбца), то он равен нулю.

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Определитель, содержащий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю.

Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.

Пример. поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.