24. Статистические гипотезы, постановка задачи построения критерия проверки статистической гипотезы. Уровень значимости и мощность критерия. Параметрический критерий. Теорема Неймана-Пирсона.

Пусть случайная величина X имеет плотность p(x, θ), зависящую от параметра θ, одномерного или многомерного, принимающего значения из некоторого множества Θ. В частности, если p(x, θ) — одномерная плотность распределения и независимая выборка x₁, x₂,…x_n(1) получена из распределения с этой плотностью, то n-мерная плотность, соответствует выборке (1) равна произведению

(С очевидными изменениями все это переносится и на дискретный случай, когда p(x, θ)= P{X=x}).

Значение параметра θ вполне определяет плотность p(x, θ). Те или иные гипотезы о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения называются статистическими гипотезами. Статистическая гипотеза типа θ = θ₀, где θ₀ — некоторое фиксированное значение, называется простой; гипотеза типа θ Θ называется сложной (содержат конечное или бесконечное число простых гипотез). Проверку гипотезы проводят статистическим методом, поэтому проверку называют статистической. Гипотезу проверяют на основании выборки из ГС — это и есть статистический метод. Из-за случайности выборки в результате статистической проверки могут возникнуть ошибки и приниматься неправильные решения. Решение принимается по значению некоторой функции от выборки, называемой статистикой (это спец. статистика, которая называется статистическим критерием, который служит для отбора и проверки).

Опр: Статистический критерий К — это случайная величина, т.е. функция на множестве случайного аргумента, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Множество значений критерия К можно разделить на два непересекающихсяподмножества:

1. подмножество значений К, при которых H₀ принимается, называемое областью принятия гипотезы(допустимой областью).

2. подмножество значений критерия К, при которых основная гипотеза H₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза H₁ , называемое критической областью.

К — одномерная случайная величина, т.е. его возможные значения некоторому интервалу. Обычно интервал — вся прямая или положительная полуось, поэтому критическая область критерия и допустимая область критерия также являются интервалами на числовой оси и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Они называются критическими точками или границами критерия К.

Постановка задачи.

Относительно параметра θ имеется некоторая основная или, или проверяемая гипотеза H₀ : θ Θ. Мы должны построить такой статистический критерий, который позволяет заключить, согласуется ли выборка x₁, x₂,…x_n с гипотезой H₀ , или нет.

Обычно критерий строится с помощью критического множества. Из n – мерного множества всех возможных значений (x₁, x₂,…x_n) выделяется такое подмножество S, называемое критическим, что при (x₁, x₂,…x_n) S гипотеза отвергается, а в пртивоположном случае — принимается. Полученный с помощью критического множества S статистический критерий иногда называют S-критерием.

Мы будем рассматривать главным образом две основные гипотезы:

H₀: p(x)= p(x, θ₀) — основная гипотеза;

H₁: p(x)= p(x, θ₁) — альтернативная гипотеза.

Есть задачи, в которых H₀ и H₁ — равноправны. Однако очень часто в реальных задачах эти гипотезы выступают наравнопрвно.

Уровень значимости и мощность критерия.

Рассмотрим две простые гипотезы: проверяемую H₀: θ = θ₀, и конкурирующую H₁: θ = θ₁. С каждым S-критерием связаны ошибки двух родов. Ошибка 1-го рода — отвержение гипотезы H₀, когда она верна; ошибка 2-го рода — принятие H₀, когда верна конкурирующая гипотеза H₁. Обозначим

Тогда вероятность ошибки первого рода S-критерия равна , а вероятность ошибки второго рода равна . В самом деле пусть гипотеза H₀-верна, тогда θ = θ₀. Гипотеза H₀— отвергается, если (x₁, x₂,…x_n) S. Вероятность этого равна

Вероятностьошибки второго рода равна , где , — множество значений (x₁, x₂,…x_n).

Опр: Вероятность ошибки первого рода α называется уровнем значимости S-критерия. Функция аргумента θ называется функцией мощности S-критерия.

Из определений следует, что Отсюда видно, что чем больше мощность в точке θ₁, тем меньше вероятность ошибки второг рода.

Параметрические критерии для распознавания двух простых гипотез H₀ и H₁ строят следующим образом. Сначала задается уровень значимости α, затем из множества S_α всех S-критериев с уровнем значимости α выбирается критерий S^*, для которого мощность при θ = θ₁ принимает наибольшее значение, т.е.

Такой критерий называется оптимальным или наиболее мощным.

Теорема Неймана-Пирсона.

Для любого 0≤α≤1 существует число С такое, что , тогда и эта вероятность минимальна среди всех критериев с уровнем значимости α.