Занятие № 14

Тема: Вырожденные газы. Распределение Ферми–Дирака.

Вопросы

1. Большое каноническое распределение и его основные свойства.

2. Квантовые статистические распределения частиц по энергиям.

3. Распределение Ферми–Дирака.

Задачи

14.1 Показать, что для вырожденных газов большой термодинамический потенциал определяется выражением , где верхние знаки соответствуют фермионам, а нижние – бозонам.

14.2 Выразить энтропию идеального ферми-газа через средние числа заполнения .

14.3 Пусть энергия фермиона  =  + , где  – химический потенциал. Показать, что при любом  функция распределения Ферми-Дирака f() = 1– f(–).

14.4 Определить, насколько приближенной является запись функции распределения Ферми–Дирака в виде при  = 2kT и  = 10kT.

14.5 Показать, что для функции распределения Ферми–Дирака имеет место соотношение .

14.6 Какова вероятность того, что электрон в металле имеет энергию, равную энергии Ферми?

14.7 Какова вероятность того, что при комнатной температуре (T = 300 К) электрон займет состояния, расположенные на 0,1 эВ выше или ниже уровня Ферми?

14.8 Найти разницу между энергиями (в единицах kT) электрона, находящегося на уровне Ферми, и электронов, находящихся на уровнях с вероятностями заполнения 0,20 и 0,80.

14.9 Во сколько раз изменится вероятность заполнения электроном энергетического уровня в металле, если он расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми, и температура изменяется от 1000 К до 300 К?

14.10 Считая, что распределение Ферми–Дирака для электронного газа в металле «размыто» только в области 2kT вблизи уровня Ферми _max, оценить, какая часть электронов изменяет свою энергию при нагревании газа от 0 до Т.

Занятие № 15 Тема: Распределение Ферми–Дирака. Ферми-газ при температуре абсолютного нуля

Вопросы

1. Функция распределение Ферми–Дирака при Т = 0.

2. Описание и свойства крайне вырожденного ферми-газа.

Задачи

15.1 Найти выражение для химического потенциала идеального нерелятивистского ферми-газа с концентрацией n при температуре Т = 0 К. Масса фермиона m.

15.2 Найти уравнение состояния идеального нерелятивистского ферми-газа с концентрацией n при температуре Т = 0 К. Масса фермиона m.

15.3 Сформулировать критерий идеальности для нерелятивистского электронного газа с концентрацией n при температуре Т = 0 К.

15.4 Концентрация свободных электронов натрия 2,510²⁸ м^-3. Определить температуру Ферми и скорость электронов на уровне Ферми.

15.5 Экспериментальное значение уровня Ферми для лития равно 3,5 эВ. Какое значение эффективной массы электрона следует подставить в формулу для уровня Ферми при Т = 0 К, чтобы получить согласие между теоретическим и экспериментальным значениями?

15.6 Чему равно давление электронного газа в серебре при Т = 0 К?

15.7 Найти выражение для химического потенциала идеального релятивистского ферми-газа с концентрацией n при температуре Т = 0 К. Масса фермиона m. Рассмотреть также ультрарелятивистский случай.

15.8 Найти выражения для давления и средней энергии идеального релятивистского ферми-газа с N частицами в объеме V при температуре Т = 0 К. Масса фермиона m. Рассмотреть также ультрарелятивистский случай.

15.9 Определить число столкновений нерелятивистских электронов со стенкой единичной площади в единицу времени в электронном газе с концентрацией n при температуре Т = 0 К.

15.10 Решить задачу, аналогичную предыдущей, для ультрарелятивистских электронов.