1.12Подбор функции методом наименьших квадратов.

Пусть известны экспериментальные результаты, описывающие поведение функции нескольких переменных в (n) экспериментальных точках.

F ( X1), F ( X2),F ( X3),...F ( Xi),... i=1..n

Необходимо подобрать функцию Fe( X) так, чтобы функционал

n

Ф =  ( F ( Xi ) – Fe ( Xi ))^2  min

i=1

Обычно Fe ( X) представляет собой полином;

Fe( X) = A0 + A1*X + A2*X^2 + A3*X^3 +...

Это может быть любая функция, соответствующая схеме:

Fe( X) = A0*F0(X) + A1*F1(X) + A2*F2(X) + A3*F3(X)+...

Здесь A - подбираемые параметры (неизвестные);

F - известные функции, в которых нет подбираемых параметров.

Подбор производится с помощью частных производных, то есть следующим образом:

n

dФ / dAj =  ( F ( Xi ) – Fe ( Xi )) _* 2 _* ( - Fj ( Xi )) = 0

i=1

В результате получим систему линейных уравнений, относительно неизвестных Aj.

Ее решение определит минимум функционала Ф.

( пример )

1.13Методы формирования случайных величин

Общий подход к формированию случайных величин с заданным законом распределения состоит в преобразовании равномерного распределения в заданное. Для получения случайной величины, имеющей интегральный закон распределения F(X)

1) необходимо сгенерировать число X равномерно распределенное в интервале (0,1)

F( t )

1

0. t

2) решить уравнение F(t)=X и найти случайное t.

3) t будет распределено в соответствии с законом F.

Для некоторых распределений решение этого уравнения возможно

аналитически.

Например: для равномерного распределения от a до b

f (t)

0 < X < 1

t = A + X ( B – A )

t

А В

Если закон соответствует экспоненциальному распределению:

f ( t )

t

экспоненциальное распределение

f ( t ) =  _* exp ( -  _* t )

t = - 1 /  _* ln ( x ), 0 < x < 1

Эмпирические распределения.

f( t )

t

Обычно функции f(t) получают, как результат экспериментов и они имеют вид гистограмм. Затем строят закон F(t) в виде системы отрезков, задаваемых точками (F_i, t_i ) i=1..n.

В этом случае t определяется следующим образом: находится интервал, для которого:

F_i-1 < X <= F_i

После этого значение t определяется формулой линейной интерполяции:

t = t_i-1+ (X - F_i-1) * (t_i - t_i-1)/(F_i - F_i-1)

Определение случайных величин заданных кумулятивным законом

Пусть случайная величина t задана

f ( t ) p2  p_i = 1

p3

p1

p4

0 t1 t2 t3 t4 t

Интегральная функция

F ( t )

0. p1+p2+p3+p4

p1+p2+p3

p1+p2

p1

Для описания этой функции вводят дополнительную точку р_0, у которой вероятность р=0 и полагают функцию заданной системой горизонтальных отрезков задаваемых наборами точек (F_i,t_i) i=1..n.

После этого находят интервал для значения X,

F_i-1 < X <= F_i и полагают t=t_i.