1. Гармонические колебания (способы представления, характеристика величин).

2. Напишите дифференциальное уравнение свободных колебаний и объясните его решение.

4. Напишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и объясните его решение.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:   При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила   (1) С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как    Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение   (2) При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение   (3)  Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как   Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению   (4) Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями. Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению   (5) причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x₀ если механические колебания равно F₀/m, в случае электромагнитных колебаний - U_m/L).  Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х₀e^iωt :   (6) Частное решение данного уравнения будем искать в виде   Подставляя выражение для s и его производных (   и   ) в выражение (6), найдем   (7) Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (ω₀² - ω² - 2iδω)    Это комплексное число представим в экспоненциальной форме: 

Где  (8)   (9) Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид   Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна   (10) где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно   (11) Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения   (12) и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). 

5. Резонанс.

Резона́нс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

Резонансная частота равна: =

6. Выведите формулу периода колебаний для математического маятника.

Математический маятник- это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника: , где - длина маятника. Т.к. математический маятник можно представить как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке- центре масс, то, подставив выражение (1) в формулу , где -приведенная длина физического маятника(Физ. Маятник- твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпад. С центром масс С тела), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина физ. Маятника- длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.