Монотонные последовательности

1. возрастающая a_n<a_n+1,  nN

2. убывающая a_n>a_n+1,  nN

3. не возрастающая a_na_n+1,  nN

4. не убывающая a_na_n+1,  nN

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности а_n, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности a_n-a<ε   ε>0  N :  nN a_n-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim a_n=0

^n

Примеры: Доказать, что ln(-1)²/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)ⁿ-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|a_n|<0.01, если n101

* * *

a_n=1-1/n²

lim(1-1/n²)=1

^n+

Для любого ε>0 (1-1/n²)-1<ε

-1/n²<ε  1/n²<ε  n²>1/ε  n>1/ε

N=[1/ε]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность а_n называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

a_n – бесконечно малая  lim a_n=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

^n+

a_n<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)_n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

^n+

2) _n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n<arcsinε  n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

^n+

3) _n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

^n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/n<e^ε

1/n<e^ε-1

n>1/e^ε-1 N=[1/e^ε-1]+1

5. _n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

^n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0<cos(1/n)<1 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n<arcos(1-ε) n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

_n_nбесконечно малое  _n+_n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

_n- бесконечно малое  ε>0  N₁:_n>N₁  _n<ε

_n- бесконечно малое  ε>0  N₂:_n>N₂  _n<ε

Положим N=max{N₁,N₂}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

_n<ε _n+_n_n+_n<ε+ε=2ε=ε₁n>N

_n<ε

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁/2. Тогда для любого ε₁>0 N=maxN₁N₂ :  n>N  _n+_n<ε₁  lim(_n+_n)=0, то

^n

есть _n+_n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

_n,_n – бесконечно малое  _n_n – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε₁>0, положим ε=ε₁, так как _n и _n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N₁:  n>N  _n<ε

 N₂:  n>N₂  _n<ε

Возьмем N=max {N₁;N₂}, тогда n>N = _n<ε

_n<ε

_n_n=_n_n<ε²=ε₁

 ε₁>0 N:n>N _n_n<ε²=ε₁

lim _n_n=0  _n_n – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

^n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

а_n – ограниченная последовательность

_n –бесконечно малая последовательность  a_n_n – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как а_n – ограниченная  С>0: nN  a_nC

Зададим ε₁>0; положим ε=ε₁/C; так как _n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N _n<ε a_n_n=a_n_n<Cε=Cε₁/C=ε₁

ε₁>0 N: n>N  a_n_n=Cε=ε₁  lim a_n_n=0 a_n_n – бесконечно малое

^n

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim a_n=a  a_n=a+_n

^n+

Последовательность a_n имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде a_n=a+_n

где _n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim a_n   ε>0 N:n>N  a_n-a<ε. Положим a_n-a=_n  _n<ε, n>N, то есть _n - бесконечно малая

^n+

a_n=a+_n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть a_n=a+_n, _n – бесконечно малая, то есть _n=a_n-a  ε>0 N: n>N 

_n=a_n-a<ε, то есть lim a_n-а

^n+