33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.

Задано начальное условие – . .

Пусть некоторое фиксированное решение (1).

Определение: Решение системы называется устойчивым (в смысле Ляпунова), если , где расстояние в -мерном пространстве. В противном случае решение называется неустойчивым.

Определение: Решение системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того,

, где

Смысл устойчивости: если чуть-чуть меняем начальные условия, то решение тоже мало меняется.

. Поэтому сразу будем считать, что (1) имеет нулевое решение . (Если нет, всегда можно сделать замену на , которое имеет нулевое решение ).

Определение: Системой 1-го приближения для системы (1) называется следующая система:

Теорема: Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение (1) устойчиво, и притом асимптотично. Если хоть одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то нулевое решение (1) неустойчиво. Если все действительные части нулевые, то ничего не утверждается. (Без доказательства)

– многочлен такого вида возникает при нахождении собственных значений .

Определение: Матрица Грувица многочлена (3) – следующая матрица:

где – константы (3); если .

Критерий Раусса-Гурвица:

Для того, чтобы все корни (3) имели отрицательную действительную часть, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные миноры соответствующей матрицы Гурвица. (без доказательства).

Замечание: Если хоть один главный минор матрицы Гурвица , то не все действительные части собственных значений < 0. Может случится, что все они равны 0. Тогда нельзя сделать никаких выводов из теоремы. Т.е. критерий Рауса-Гурвица “работает в одну сторону”.

Приближенное вычисление 1-го приближения: через ряды Тейлора/Макларена.

Например, . ( остаточный член)

34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.

Графики решений (интегральные кривые) .

Определение:

1. Фазовая плоскость системы (1) – пространство переменных

2. Фазовая траектория системы (1) – проекция любой интегральной кривой этой системы на фазовую плоскость.

3. Фазовая картина системы (1) – совокупность всех её фазовых траекторий.

В зависимости от свойств матрицы системы (1) существуют 9 различных фазовых картин. Они зависят от собственных значений матрицы . находятся как корни квадратного уравнения. Будем считать, что корней всегда 2, но, быть может, они совпадают. Начало координат – всегда одна из фазовых траекторий (соответствующих нулевому решению): .

Для обоснования следует решить систему (1). Получим явные выражения функций:

Эти формулы – уравнения для фазовых траекторий в параметрическом виде, где – параметр.

Обоснуем пункт 6 (дикритический узел):

, 2 линейно независимых собственных вектора. Из линейной алгебры: только для матрицы вида справедливы такие свойства. Значит,

отвечает своя фазовая траектория.

Если то – начало координат (самостоятельная фазовая траектория).

полуоси – фазовые траектории.

фазовые траектории в I четверти.

При (оба ):

И т. д.