
- •1.Основные понятия и факты, связанные с д.У.
- •2.Существование,единственность и приближённое решение задачи Коши.
- •3. Д.У.,описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и др.)
- •4.Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.
- •5.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.
- •6.Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.Уравнения Бернулли и Риккати.
- •8.Уравнения в полных дифференциалах.
- •9.Интегрирующий множитель.
- •12.Уравнения Клеро и Лагранжа.
- •13.Уравнения высших порядков. Важнейшие случаи, допускающие решение в квадратурах либо понижение порядка.
- •14.Системы д.У. Метод исключения. Общий интеграл.
- •15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
- •17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
- •18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
- •19.Существование фундаментальной системы решений.
- •20.Формула общего решения линейного однородного уравнения.
- •21.Восстановление линейного однородного уравнения по ф.С.Р.
- •22.Формула Остроградского-Лиувилля.
- •23.Нахождение ф.С.Р. В случае постоянных коэффициентов уравнения.
- •24.Метод Лагранжа для линейных уравнений.
- •25.Метод неопределённых коэффициентов для линейных уравнений.
- •26.Линейные уравнения Эйлера.
- •27.Линейные однородные системы. Линейные системы.
- •29.Метод Лагранжа для линейных систем.
- •30.Метод неопределённых коэффициентов для линейных систем.
- •31.Задачи Коши и краевые задачи для линейных уравнений и систем.
- •32.Голоморфные решения линейных уравнений и систем.
- •33.Устойчивость решений. Система 1-го приближения. Критерий Рауса-Гурвица.
- •34.Фазовая плоскость. Обоснование одной(любой) из фазовых картин.
- •35.Линейные интегральные уравнения 2-го рода. Случай вырожденного ядра.
- •36.Задачи вариационного исчисления и понятие о способах их решения.
15.Линейные однородные уравнения в частных производных. Задача Коши.
Линейные однородные уравнения
определены в
хотя бы одно
.
Пусть
.
Определение: Системой в симметрической форме, соответствующей уравнению (1), называется система дифференциальных уравнений следующего вида:
Придадим ей следующий
вид:
Теорема 1:
Для того, чтобы
была решением (1), необходимо и достаточно,
чтобы
была интегралом (2).
Теорема 2:
Формула общего решения (1) имеет вид
,
где
– независимые интегралы системы (2), а
– произвольная дифференцируемая
функция.
16.Квазилинейные уравнения в частных производных. Задача Коши.
Квазилинейные уравнения.
Решать
будем в неявном виде
Продифференцируем
(5) по
Решив (6), найдем
она и будет решением. Общее решение
уравнения (4):
,
где
произвольная дифференцируемая функция,
независимый интеграл системы в
симметричной форме, соответствующей
(6).
Определение:
Начальное условие для (1) и (4) –
следовательно, дополнительное условие:
,
наперед заданное
число, принадлежащее
,
наперед заданная функция.
(1), (8) или (4), (8) – задача Коши.
17.Линейная зависимость функций и вронскиан.
Определение:
Функции
,
определенные на интервале
,
называются линейно зависимыми на
,
если
не все равные нолю, такие что
Если же тождество справедливо лишь при
,
то функции линейно независимы.
Определение:
Определитель Вронского
раз дифференцируемых функций
следующий определитель
:
Теорема:
Если
линейно зависимы и
на
,
то
.
Следствие:
линейно независимы.
Следствие:
Многочлены равны
равны коэффициенты при одинаковых
степенях
.
18.Линейные однородные уравнения. Линейная зависимость решений. Вронскиан решений.
коэффициенты
уравнения;
непрерывны.
Краткая запись (1):
.
линейный оператор.
.
Т.к. справа ноль, то уравнение однородное.
Свойства:
1.
решение (1)
Линейная комбинация с любыми коэффициентами любых решений (1) – решение (1).
решение уравнения (1),
такое, что
.
Теорема 1:
Пусть
решения
уравнения (1);
Тогда
линейно зависимы.
Доказательство:
Определитель этой системы –
Тогда существует
нетривиальное решение. Выберем конкретное
нетривиальное решение системы
.
По свойству 2
тоже
решение. Выберем
.
Наше решение в точке
удовлетворяет начальным условиям. С
другой стороны,
тоже удовлетворяет условию
.
По свойству 3
.
Т. к. не все
,
то
линейно зависимы, ЧТД.
Теорема 2. Пусть – решение (1). Тогда справедливо ровно 1 из следующих утверждений:
1.
2.
Доказательство:
Обоснуем, что не может где-то
,
а где-то не равняться.
Пусть
.
Тогда
линейно зависимы, т. е.
линейно независимы.
От противного. Если
бы были линейно зависимы, то по теореме
из предыдущего вопроса
.
Если
бы
то
линейно зависимы.
линейно зависимы.
От противного.
От противного
19.Существование фундаментальной системы решений.
Определение: Фундаментальной системой решений (1) называется совокупность его линейно независимых решений.
Теорема 3. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений.
Доказательство:
Возьмем числа
.
Потребуем, чтобы
.
Обозначим
такие решения (1), для которых
.
По свойству 3 с любыми начальными
условиями решение в
существует. Тогда
По теореме 2
линейно независимы, т.е. фундаментальная
система решений.
(замечания) общего метода для нахождения фундаментальной системы решений не существует.
Каждое (1) имеет бесконечное количество фундаментальных систем решений.
Частный случай (1): когда
– числа
Определение:
Характеристическим уравнением для (2)
называется следующее выражение:
,
где
– характеристический многочлен (2):
.
Свойства (и для любого многочлена):
1.
с точностью до порядка множителей
представление
в виде следующих произведений:
,
где
попарно различные, вообще говоря,
комплексные числа, которые называются
корнями многочлена, а
кратности
корней, причем
степень
многочлена. (Основная теорема алгебры)
2.
кратность
корня
,
причем
3. Два любых комплексно-сопряженных числа одновременно либо не являются корнями , либо являются, причем одинаковой кратности.
Теорема
4. Фундаментальную
систему решений (2) образуют функции,
сопоставленные всем действительным
корням и всем парам комплексно-сопряженных
корней соответствующих
корням
многочлена, следующим образом:
Если
корень
кратности
,
то ему следует сопоставить
.
Если
– пара комплексно-сопряженных корней кратности
, то им следует сопоставить
– для
– для
Теорема 7.
–
линейно независимые функции.
.
Тогда
уравнение вида (1), для которого эти
функции являются фундаментальной
системой решений.