6.Линейные уравнения 1-го порядка.

― линейное уравнение ― уравнение такого вида

― коэффициент уравнения

― правая часть, (неоднородность уравнения), свободный член.

― ?

. ― линейный оператор

- однородное

- неоднородное.

Свойства линейных уравнений:

Общее решение неоднородного линейного уравнения ― сумма общего решения однородного линейного уравнения и некоторого частного решения неоднородного .

Сумма частных решений однородного линейного уравнения ― решение однородного линейного уравнения.

Однородное линейное уравнение , ,

( ― некая константа , )

Т.к. , то . Обозначим .

― общее решение однородного линейного уравнения

Неоднородное линейное уравнение . Для решения неоднородного линейного уравнения существуют разные методы (читать учебники).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной):

нужно подобрать.

.

Нужно еще обосновать, что других решений нет

7.Уравнения Бернулли и Риккати.

Уравнения, сводящиеся к линейным:

― уравнение Бернулли

Если , то линейное неоднородное, , то линейное однородное .

Далее .

. Делим уравнение Бернулли на :

.

― уже линейное уравнение

― линейное уравнение относительно .

― уравнение Риккати

Можно свести к уравнению Бернулли, если известно некоторое частное решение .

― уравнение Бернулли

Не существует общего метода нахождения частного решения уравнения Риккати , поэтому в общем случае уравнение Риккати не решается в квадратурах.

Частный случай уравнения Риккати:

.

.

При нужно искать другие частные решения.

При выбираем 1 частное решение.

8.Уравнения в полных дифференциалах.

―предположим, что эти функции определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой односвязной области (нет дырок)

Определение: Уравнение называется уравнением полных дифференциалов, если такая, что .

Уравнение можно записать в виде: ―решение.

Теорема: Для того чтобы , для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

Из этих рассуждений видно, что решение задачи с уравнением полных дифференциалов сводится к нахождению .

9.Интегрирующий множитель.

Предположим, что уравнение ―не уравнение полных дифференциалов

Определение: Интегрирующим множителем для уравнения назовем , после умножения на которую уравнение становится полным дифференциалом.

Общего метода для нахождения интегрируемого множителя нет. Существуют различные методы:

1)

2) ,

3) .

10.Уравнения вида , y= .

Если уравнение разрешено относительно , т.е. , то это частный случай .

1) ― неполное уравнение, разрешенное относительно ,

(Т.к. не входит )

Вводим параметры: ― параметрический вид

(Параметр ― вспомогательная независимая переменная)

ответ:

2) ― неполное уравнение, разрешенное относ.

Ответ:

11.Уравнения вида , y= .

3) ― уравнение, разрешенное относительно

.

Ответ: ― решение , (параметрическое)

4) ― уравнение, разрешенное относительно

,

Ответ: