1.2 Закон парности касательных напряжений

В отсутствие ускоренного вращения тела суммарный крутящий момент действующий на элементарный кубик, также равен нулю, что приводит к равенствам

(6)

известным под названием закона парности касательных напряжений. Это равенство называется также правилом Коши.

Таким образом, из девяти компонент тензора напряжений независимыми являются шесть: три нормальных и три касательных. Если все компоненты какой-либо строки матрицы тензора напряжения равны нулю, то имеет место плосконапряженное состояние; если равны нулю все компоненты двух строк, то имеет место одномерное напряженное состояние. Говорят, что характер напряженного состояния в данной точке тела определен, если удается найти нормальные, касательные компоненты тензора напряжения, действующие на плоскость, проходящую в произвольном направлении через заданную точку.

1.3. Главные напряжения

Концепция главных напряжений отражает тот факт, что численные значения компонент напряжения зависят от ориентации площадки, на которой они действуют. Компоненты напряжения изменяются при вращении координатных осей. Тогда можно полагать, что существует такая ориентация, при которой численные значения компонент экстремальны – максимальны и минимальны. Эта идея иллюстрируется случаем двумерного напряженного состояниявытекающим из рис. 1. Пусть в теле балки сделано плоское сечение под углом α к её оси, как показано на рис. 4, а сила F действует под углом к плоскости аа. Тогда нетрудно вычислить два компонента вектора F – нормальную F_n и тангенциальную F_ϭ составляющую соответственно

F_n = Fsinα; F_ϭ = cosα (7)

Рис. 4 Напряжение на наклонном сечении стрежня – разложение силы на нормальную и касательную составляющие.

Компоненты тензора напряжений можно найти, учитывая, что площадь наклонного поперечного сечения равна S/sinα. Компоненты тензора напряжений равны отношению силы к площади на которой они действуют, то есть:

нормальное напряжение Ϭ_E

(8)

касательное напряжение Ϭ

(9)

где ϭ₀=F/S

Можно выделить несколько направлений ориентации площадки действия силы, представляющие специальный интерес:

• при α = 90° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ₀ максимально, а касательное напряжение Ϭ = 0;

• при α = 45° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ₀/2, а касательное напряжение Ϭ = Ϭ₀.максимально;

• при α = 0° нормальное напряжение Ϭ_E = Ϭ = 0. Ϭ₀/2, то есть площадки ориентированные в этом направлении свободны от напряжений.

Таким образом, при любой ориентации площадок в теле как нормальное, так и касательное напряжения могут существовать безотносительно того, что в исходной картине нагружения (рис. 1) действовало только нормальное напряжение. Более того, всегда существуют такие направления ориентации, в которых либо нормальное, либо касательное напряжения максимальны. Последний вывод особенно инте­ресен, поскольку различные материалы по-разному сопротивляются действию растяжения (нормальных сил) или сдвигу (тангенциальных сил).

Так, например, очень трудно сжать жидкость (сжатие эквивалентно действию отрицательных нормальных напряжений), но сравнительно просто осуществить сдвиг, то есть сместить один слой жидкости относительно другого, подобно сдвигу карт в колоде. Другой случай – растягиваемая тонкая пленка (например, оболочка баллона под действием внутреннего давления) разрушается вследствие приложения нормальных напряжений, в то время как в этом случае касательные напряжения практически отсутствуют.

Приведенные примеры - это только иллюстрация общего положения о том, что все компоненты тензора напряжений зависят от ориентации осей в пространстве, на которые рассчитываются их проекции. Этот вывод представляет собой следствие зависимости величин проекций любого вектора от ориентации осей в пространстве.

Теория операций с тензорными величинами предлагает общие правила и конкретные уравнения, по которым рассчитываются компоненты тензора в трехмерном пространстве. Они сводятся к уравнениям (8) и (9) для плоского двумерного случая нагружения. Как и для двумерного напряженного состояния, можно доказать, что и в общем трехмерном случае для любого тензора в теле всегда существуют три взаимно ортогональные (то есть перпендикулярные друг другу касательные напряжения отсутствуют. Примером этого для двумерного напряженного состояния служит рассмот­ренный выше рис. 4. Как видно, нормальные напряжения ϭ_ij максимальны в таких направлениях, в которых касательные напряжения отсутствуют, ϭ_ij = 0 (i≠j). Такие экстремальные нормальные напряжения называют главными напряжениями

Существование главных напряжений для любого тензора напряжений представляет собой частный случай более общего утверждения - главные значения существуют для любого тензора.

Концепция главных напряжений позволяет установить минимальный набор параметров, которые полностью характеризуют напряженное состояние в любой точке. Невозможно сопоставлять различные напряженные состояния, оперируя шестью компонентами тензора напряжений, но это гораздо проще сделать, сопоставляя три величины главных напряжений. Кроме того, величины шести компонент тензора напряжений зависят от выбора ориентации координатных осей, а значения главных напряжений нет.