4. Использование формул комбинаторики при непосредственном вычислении вероятностей событий.

Для подсчета числа комбинаций, которые можно составить из заданных элементов, соблюдая те или иные условия, используют формулы комбинаторики. Простейшие комбинации – сочетание, размещение и перестановка.

Сочетанием из n элементов по m (С_n^m) при n≥1, 1<m<n, называется всякая комбинация, объединяющая m каких-нибудь элементов из числа данных n элементов. Две такие комбинации считаются разными, если какой-нибудь из данных n элементов водит в одну из них, но не входит в другую комбинацию. Иными словами, сочетания отличаются друг от друга своим составом.

Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составов пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 16 элементов по 2.

С_n^m = n! / m!(n-m)! С₁₆² = 16*15 / 1*2 = 120

С_n⁰ = 1. С_n^m = С_n^n-m. С_n^m + С_n^m+1 = С_n+1^m+1.

Размещением из n элементов по m (А_n^m) при n≥1, 1<m<n, называется всякая комбинация, объединяющая в определенном порядке m каких-нибудь элементов из числа данных n элементов. Две такие комбинации считаются разными, если они отличаются либо своим составом, либо порядком следования своих элементов.

Каждый вариант расписания представляет набор 5 из 11 дисциплин, отличающихся от других как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 5.

A_n^m = n! / (n-m)! С₁₁⁵ = 11*10*9*8*7 = 55440

Размещением из n элементов по n элементов называется перестановкой из n элементов. A_nⁿ = P_n.

5. Формула полной вероятности и Байеса.

Следствием двух основных теорем – сложения и умножения – являются формула полной вероятности и формула Байеса.

Ф ПВ. Пусть требуется определить вероятность события Р(А), которое может произойти вместе с одним из событий Н₁,…,Н_n. Назовем их гипотезами, тогда (сумма произведений вер-тей каждой из гипотез, умнож-х на условные вер-ти)

Доказательство. По условию гипотезы образуют полную группу, след., они единственно возможны и несовместимы.

Т.к. гипотезы единственное возможные, а событие А по условию теоремы может произойти только вместе с одной из гипотез, то А = Н₁А +… + Н_nА.

В силу того, что гипотезы несовместны, можно применить теорему сложения вер-тей: P(A) = P(Н₁А) +… + P(Н_nА) = .

По теореме умножения P(Н_iA) = P(Н_i) * P_Нi(A), откуда и получается утверждение.

Теорема гипотез (формула Байеса). Применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез Н₁,…,Н_n, образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез P(Н₁),…,P(Н_n), известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез P(Н₁/А),…,P(Н_n/А).

Для получения искомой формулы запишем теоремы умножения вероятностей событий А и Н_i, в двух формах:

P(AН_i) = P(A)P(Н_i/A) = P(Н_i)*P(A/Н_i), откуда

или с учетом ФПВ

Значение ф-лы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е по мере получения новой инфо, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.