65. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница. Доказательство.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что
1.
an+1
< an
для всех n;
2.
.
Тогда
знакочередующиеся ряды
и
сходятся.
66. Степенные ряды. Вывод формулы для радиуса сходимости степенного ряда. Область сходимости и поведение ряда на ее границах.
Степенным
рядом называется
ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Теорема.
Если
степенной ряд
сходится
при x
= x1
, то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Доказательство.
По условию теоремы, так как члены ряда
ограничены, то
где
k-
некоторое постоянное число. Справедливо
следующее неравенство:
Из
этого неравенства видно, что при x<x1
численные величины членов нашего ряда
будут меньше ( во всяком случае не больше
) соответствующих членов ряда правой
части записанного выше неравенства,
которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
по
условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому
на основании признака сравнения делаем
вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится
абсолютно.
Таким
образом, если степенной ряд
сходится
в точке х1,
то он абсолютно сходится в любой точке
интервала длины 2
с центром в точке х
= 0.
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким
образом, для каждого степенного ряда
существует такое положительное число
R,
что при всех х
таких, что
ряд
абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом число R
называется радиусом
сходимости.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сходимости.
Радиус
сходимости может быть найден по формуле:
67. Площадь фигуры под графиком функции. Интегральные суммы. Понятие определенного интеграла.
Пусть функция y=f(x) определена на [a;b]
1) [a;b] произвольным образом разобьем на n частей точками. x0< x1< x2 меньше и так далеее меньше xn
[xk-1; xk] - частичные промежутки.
2) Для всех [xk-1; xk] произвольным образом выберем точку пси к.
3)
- интегральная сумма для определенного
интеграла.
4) max xk= . Разбиение [a;b] назовем основным, если 0.
Определение 1.
Определенным интегралом функции y=f(x) заданной на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы сигма при лямде, стремящейся к 0, если этот предел существует и конечен.
Обозначение
определенного интеграла:
(2)
Геометрический смысл интеграла.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
