23. Предельный п­ереход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).

Соединяя две переменные и знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствуших значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.

1) Если две переменные , при всех их изменениях равны: причем каждая из них имеет конечный пpeдел: то равны и эти пределы: .

Непосредственно следует из единственности предела

Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равен­тве: из заключают, что

2) Если для двух переменных всегда выполняется неравенство причем каждая из них имеет конечный предел: то и .

Допустим противное: пусть . Рассуждая так же­ как и в пункте 36, 4), возьмем число r между а и b, так что . Тогда, с одной стороны, найдется такой номер N’, что для будет с друrой же ­ найдется и такой номер N’’, что для окажется . Если N больше обоих чисел N’, N’’, то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства

что противоречит предположению. Теорема доказана.

3) Вышеназванная теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что .

Мы обращаем внимание на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство, а только, по-прежнему: .

Так, например при всех n, и тем не менее

Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утверждение 3)

При установлении существования и величины предела часто бывает полезна теорема:

Теорема о пределе сжатой последовательности

Если для nеременных всегда выполняются неравенства

причем переменные стремятся к общему пределу a:

тo и nеременная имеет тот же предел:

Доказательство: Зададимся произвольным . По этому ε­ прежде всего, найдется такой номер ’, что при

Затем найдется такой номер, , что при

Пусть будет больше обоих чисел ; тогда, при , выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому

Окончательно при

Таким образом, действительно, .

Из этой теоремы в частности следует: если ,при всех n

и известно, что , то и ­. Впрочем, это очен­ь легко доказать и непосредственно.