2.3. Уравнение д. Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Выше были получены дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости и уравнение неразрывности движения, образующие замкнутую систему уравнений. Для решения конкретных инженерных задач необходимо уметь находить интегралы этих уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (так называемые уравнения математической физики) приводятся в соответствующих разделах высшей математики. Сразу же оговоримся, что рассматриваемая система уравнений настолько сложа, что до настоящего времени еще не получено ее решение в общем виде. Однако для некоторых частных случаев движения жидкости решение этих уравнений может быть получено. В частности, эта система сможет быть проинтегрирована, если рассматривать установившиеся движение идеальной жидкости вдоль линии тока (или в элементарной струйке).

Проанализируем, как упростятся уравнения Л. Эйлера в случае установившегося движения жидкости. Правые части этих уравнений ; и представляют собой проекции ускорений движения жидкой частицы на оси х, у и z и являются полными производными по времени от соответствующих проекций скорости ее движения на те же оси.

В случае установившегося движения жидкости скорость и ее проекции есть функции лишь координат и не зависят от времени. Это означает, что частные производные от скорости и ее проекций повремени равны нулю: .

Тогда полные производные примут вид:

Это обстоятельство мы будем иметь в виду при дальнейших выкладках. Прежде чем перейти к интегрированию уравнений движения идеальной жидкости, примем следующие дополнительные условия:

1. из внешних массовых сил действует лишь сила тяжести;

2. гидродинамическое давление является функцией координат и не зависит от времени;

3. жидкость является несжимаемой ( ).

Умножим уравнения Л.Эйлера соответственно на , и и почленно сложим. При этом будем считать, что , и являются проекциями на координатные оси бесконечно малого участка пути, пройденного частицей жидкости за время вдоль линии тока (или траектории, так как мы рассматриваем установившееся движение, при котором линии тока и траектории движения совпадают). Ось z направим вертикально вверх.

(11.10)

Проекции единичной массовой силы (в данном случае силы тяжести) примут следующие значения при выбранном направлении осей координат:

; ; .

Поэтому первый трехчлен в выражении (11.10) будет равен - .

Второй трехчлен при принятом условии независимости гидродинамического давления от времени, как легко видеть, представляет собой полный дифференциал давления:

.

Трехчлен в правой части выражения (11.10) преобразуем следующим образом:

Следовательно, при установившемся движении этот трехчлен представляет собой полный дифференциал от половины квадрата скорости движения частицы вдоль линии тока.

С учетом всего изложенного перепишем уравнение (11.10),

,

или

.

Деля на g и учитывая, что , получим:

.

Интегрируя это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, придем к следующему результату:

(11.11)

Это уравнение называется уравнением Д.Бернулли, оно справедливо при установившемся движении идеальной жидкости и означает, что сумма трех входящих в него величин есть величина постоянная для данной линии тока (траектории). Особо подчеркиваем, что для всякой иной линии тока (траектории) значение этой постоянной может быть другим.

Пусть в сечении 1-1 элементарной струйки площадь ее живого сечения равна , движения жидкости в этом сечении , а гидродинамическое давление в этом сечении равно . Соответствующие величины для живого сечения этой же струйки 2-2 обозначим , и (рис. II.00).

Превышение центров тяжести площадей живых сечений 1-1 и 2-2 над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью сравнения обозначим и .

Масса жидкости, прошедшей за время через сечение 1-1, привносит с собой в отсек элементарной струйки 1-1 и 2-2 кинетическую энергию в размере:

.

Эта же масса жидкости обладает и запасом потенциальной энергии, равной:

Рис. II.00

Таким образом, через сечение 1-1 за время жидкостью привносится энергия, равная сумме перечисленных видов энергий:

Аналогично получим, что энергии, выносимая жидкостью за это же время через сечение 2-2, будет равна:

Применяя закон сохранения энергии к рассматриваемому случаю, можем утверждать, что энергия, внесенная жидкостью за время в отсек элементарной струйки, должна быть равна энергии, вынесенной жидкостью из этого же отсека за то же время, т.е. или

Отнесем полученное равенство вносимых и выносимых жидкостью полных энергией к единице веса жидкости, для чего поделим полученное выражение на , помня, что . В результате получим:

(11.12)

Это и есть уравнение Д.Бернулли.

Энергию, приходящуюся на каждую единицу веса жидкости, впредь будем называть удельной энергией и обозначать . Тогда уравнение (11.12) можно переписать в виде:

. (11.13)