1.14 Матричные уравнения
Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид
, (1.24)
, (1.25)
, (1.26)
где
– известные матрицы, а
– неизвестные матрицы соответствующих
размеров. В общем случае уравнения
(1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), но в том частном случае, когда
матрицы
и
обратимы, теория этих уравнений проста.
Прежде чем изложить её отметим, что
числовая матрица
является решением уравнения (1.24), если
при подстановке её в это уравнение
вместо матрицы
мы получаем верное матричное равенство
(и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).
Предложение
1.8. Пусть
матрицы
и
обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26)
разрешимы при любых правых частях
соответственно, а их единственные
решения определяются по формулам
, (
)
, (
)
, (
)
◄ Так как уравнения
(1.25) и (1.26) являются частными случаями
уравнения (1.24) (
в первом случае и
во втором случае), доказательство
проведём лишь для уравнения (1.24).
(Рассуждения в случае уравнений (1.25) и
(1.26) предлагаем читателю провести
самостоятельно.)
Пусть
,
,
тогда по необходимости матрицы
и
имеют размер
.
Так как
,
,
то для любой матрицы
из
существует матрица
вида (
).
Подставляя её в уравнение (1.24), получаем
,
т.е. матрица вида ( ) является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.
Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство
.
Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что
или
.
т.е. имеет вид ( ). ►
Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.
Предложение
1.9. Пусть
и
.
Тогда уравнения
, (1.27)
(1.28)
равносильны для любых матриц из .
◄ Действительно,
если
– решение уравнения (1.27), тогда
.
Умножая обе части этого равенства слева
на матрицу
,
получаем, что.
или
,
т.е.
является решением уравнения (1.28).
Наоборот, если
– решение уравнения (1.28), тогда
.
Но матрица обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что
,
т.е. – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►
Упражнения
1. Выяснить, какие из следующих матриц равны
.
2. Написать матрицу, транспонированную данным:
.
3. Если матрица имеет вид
,
то каков вид матрицы ?
4. Матрицы и имеют вид:
а)
б)
.
Каковы размеры
матрицы
,
если известно, что
?
5. Даны матрицы
и
.
Найти матрицы
.
а)
;
б)
;
в)
.
6. Найти произведение матриц , если:
а)
; б)
;
в)
;
г)
д)
; е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.
Пример
10. Найти
матрицу
,
если
.
◄ Матрица существует, так как порядки сомножителей согласованны
,
и имеем порядок
.
Благодаря свойству ассоциативности
операции умножения матриц последовательность
её вычисления может быть различной,
например,
или
.
Напомним, что при
вычислении произведения двух матриц
используется скалярное умножение двух
арифметических векторов порядка
.
Будем называть это скалярное умножение
«простым», если
,
и – «сложным», если
(сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем
количества ПСУ и ССУ, которые необходимо
совершить, чтобы вычислить матрицу
указанными выше способами.
В первом случае последовательность вычислений такова:
1) – 6 ССУ
2)
– 2
ССУ
3)
– 8
ПСУ.
Всего: 8 ССУ и 8 ПСУ.
Во втором случае:
1)
– 12
ПСУ
2)
– 12
ССУ
3) – 8 ССУ.
Всего: 20 ССУ и 12 ПСУ.
Преимущество
первого способа над вторым очевидно.
Но есть ещё один порядок умножения,
позволяющий сократить объём вычислений.
Именно,
.
В самом деле,
1)
– 3
ССУ
2)
– 2
ССУ
3)
– 8
ПСУ.
Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.
Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►
7. Найти произведение
,
если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
При вычислении
матричных выражений вида
предварительно следует привести подобные
члены, если это возможно.
Пример 11. Найти матрицу
,
если
,
.
◄ Приводим подобные члены в исходном выражении для матрицы ,
.
Так как
,
.
►
8. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.
Пример 12. Найти матрицу
,
если
◄ Заметив, что
,
где
,
получаем, что
.
►
9. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
10. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
;
в)
.
11. Найти матрицу
,
если
.
12. Найти матрицу
,
если:
а)
;
б)
.
Введём обозначение для степени матрицы
,
И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц
.
Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы должно совпадать с числом столбцов матрицы .
При вычислении
степеней матриц и матричных выражений
следует попытаться среди малых степеней
найти максимально простую матрицу с
тем, чтобы использовать её для упрощения
вычисления матрицы
.
Пример 13. а) Найти матрицу
.
◄ Пусть
,
тогда
Поэтому
►
б) Найти матрицу
,
где
.
◄ Рассмотрим
матрицы
и
:
,
.
Но тогда
.
►
13. Вычислить значение матричного выражения:
а)
,
если
;
б)
,
если
;
в)
,
если
,
.
14. Вычислить
.
Пусть
– многочлен,
,
,
.
Многочленом
от матрицы
называется матричное выражение
,
где
.
Пример
14. Найти
значение
,
если
.
◄ По определению
.
►
15. Найти значение :
а)
;
б)
;
в)
.
Аппарат элементарных матриц позволяет находить обратную матрицу, если исходная матрица обратима.
Пример 15. Разложить матрицу в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если
.
◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу к виду ,
.
Матрица обратима и удовлетворяет соотношению
.
Умножая полученное равенство справа на матрицу
,
получаем, что
.
Теперь умножаем новое равенство на матрицу
слева,
.
Матрица
обратима и
.
Поэтому
).
Откуда следует что
.
►
16. Указать
элементарные матрицы, отвечающие
следующим элементарным преобразованиям
матрицы размера
:
.
17. Каким элементарным
преобразованиям матрицы размера
соответствуют элементарные матрицы:
, 
, 
,
, 
, 
.
18. В матрице
произвести элементарные преобразования
умножением на соответствующие элементарные
матрицы
или
(
соответствуют строчным преобразованиям,
– столбцовым):
а)
,
.
б)
,
,
.
19. Элементарными
преобразованиями привести матрицу к
виду
:
а)
,
б)
,
в)
, г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
.
20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.
21. Выяснить, является ли матрица обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица имеет вид:
а)
, б)
, в)
.
Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.