Алгебра

Лекции и практика

Алгебра матриц

Введение

Курс «Алгебры» занимает одно из важнейших мест в системе образования не только для всех математических специальностей, но и для всех специальностей, которые используют математические методы. Например, у экономистов на этом курсе основаны такие дисциплины как линейное программирование и теория игр.

Первая часть содержит 12 лекций по алгебре, охватывающих три модуля: «Алгебру матриц», «Системы линейных алгебраических уравнений» и «Определители». Материал этих лекций составляет основную часть курсов первого семестра: «Алгебры» на отделении «математика» и Линейной алгебры» на отделении «математические методы и исследование операций». Поэтому содержание лекций и форма подачи материала играют определяющую роль в процессе адаптации вчерашних школьников к университетской системе обучения.

Главной особенностью настоящего пособия является включение в него наряду с теоретическим материалом большого количества упражнений по каждой теме вместе с разбором основных алгоритмов. Одновременно с целью «наведения мостов» между данным курсом и другими математическими разделами, ожидающими первокурсников, в текст «Лекций» включен дополнительный материал по теории множеств и отображений, а также дано описание основных алгебраических структур. Эти разделы, как правило, отмечены звездочкой.

Многолетние преподавание алгебры на механико-математическом и экономическом факультетах Ростовского университета убеждает автора в необходимости особого внимания к работе со студентами в первом семестре. Этим объясняется включение в текст пособия ряда нестандартных фрагментов: исторических справок, опытов обсуждения сложности вычислений и контроля за вычислениями, указаний приложения основных результатов и понятий.

Ниже символами ◄ и ► обозначается соответственно начало и конец доказательства, символом - предложение читателю самостоятельно провести доказательство отмеченного утверждения, а символом -наличие противоречия в рассуждениях. Впрочем, в тексте «Лекций» читатель будет встречать и другие символы, облегчающие процесс изложения материала. Например, символ заменит слова «влечет» и «следовательно», а символ употребляется вместо выражений «тогда и только тогда» или «равносильно». Разъяснения по поводу других значков будут даваться по ходу текста.

Настоящее пособия является переработкой трех тетрадей «Лекций по линейной алгебре» [], написанных автором, и трех тетрадей методических указаний, подготовленных в 1994-97 годах совместно с В.М. Семигуком [], которому автор выражает свою признательность за сотрудничество.

Гл. 1. Алгебра матриц

В этой главе, прежде всего, строится матричное исчисление. На множестве матриц, определяемых как таблицы вещественных чисел, вводятся операции (сложения, умножения, умножения на число, транспонирования и обращения) и изучаются свойства этих операций. Выясняется, что наряду со свойствами операций, наследуемыми матрицами у вещественных чисел, у них появляются и новые свойства, которыми вещественные числа не обладают. Например, умножение матриц оказывается некоммутативным.

После этого обсуждается проблема разложения матрицы на простейшие. Оказывается, что любую матрицу единственным образом можно представить в виде суммы матриц, каждая из которых обладает только одним ненулевым элементом. Представление матрицы в виде произведения простейших является более сложным и нуждается в построении специального аппарата элементарных матриц, оправдывающего себя в последующих разделах курса.

В последней части первой главы изучаются простейшие матричные уравнения.

Лекция I.

План

1. Матрицы. Терминология

2. Принцип равенства

3. Транспонирование матриц

4. Сложение матриц

5. Умножение матрицы на число

1. Матрицы. Терминология

Прямоугольная таблица действительных чисел

(1.1)

называется действительной матрицей. Числа , образующие матрицу, называются её элементами. Здесь . Для обозначения матриц будем применять заглавные буквы латинского алфавита A, B, C, ..., X, Y, Z, а для обозначения их элементов – греческие буквы и т.д. с индексами и . При этом первый слева индекс (индекс ) указывает номер строки, а второй индекс (индекс ) – на номер столбца матрицы, на пересечении которых расположен элемент . Наряду с обозначением (1.1) в литературе часто встречаются сокращенные обозначения

или просто . Эти обозначения мы также будем использовать в дальнейшем.

Введем специальные обозначения для строк и столбцов матрицы :

а множество всех действительных матриц с строками и столбцами будем обозначать через . Если , матрица называется прямоугольной матрицей порядка , а если - квадратной матрицей порядка . Множество всех действительных квадратных матриц порядка обозначается . Матрица , имеющая только одну строку,

,

называется матрицей-строкой порядка .

Матрица , имеющая только один столбец,

,

называется матрицей-столбцом порядка . Матрицы-строки и матрицы-столбцы называются также арифметическими векторами. Множество всех арифметических векторов (матриц-столбцов) порядка в дальнейшем будем обозначать через .

Элементы матрицы образуют её главную диагональ. Если все элементы матрицы , не стоящие на её главной диагонали, равны нулю,

,

матрица называется диагональной. Квадратная матрица , у которой все элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю,

называется нижне-треугольной (верхне-треугольной) матрицей.

Понятие матрицы является одним из основных понятий курса алгебры. Элементами числовых матриц (целочисленных, рациональных, действительных, комплексных, булевых) являются числа (целые, рациональные, действительные, комплексные, булевы числа 0 и 1). В этом курсе мы будем иметь дело прежде всего с действительными матрицами. Тем не менее, обозначения и т.д. имеют очевидный смысл. Наряду с числовыми матрицами в этом и других математических курсах встречаются более сложные типы матриц: полиномиальные, функциональные, блочные и т.д., то есть матрицы, элементами которых являются соответственно полиномы (многочлены), функции, блоки (матрицы одинакового порядка) и т.д. В связи с этим отметим, что все положения и свойства матриц, рассматриваемые в данном разделе, с надлежащими уточнениями справедливы и для других указанных выше типов матриц, характер же этих уточнений мы будем обсуждать всякий раз в соответствующем месте.