1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
матрицы
Элементарные преобразования над матрицами бывают только трёх типов:
1) перемена местами
двух строк или столбцов; обозначения –
или
соответственно;
2) умножение строки
или столбца на число, отличное от нуля;
обозначения –
или
соответственно,
;
3) добавление к
какой-либо строке или столбцу другой
строки или столбца, умноженных на
произвольное число
;
обозначения –
или
соответственно (элементарное преобразование
этого типа называется трансвекцией).
В результате
применения к матрице
элементарного преобразования первого
типа её строки
и
(или столбцы
и
)
поменяются местами; во втором случае
строка
(или столбец
)
будет заменена на строку
(или столбец
);
в последнем случае строка
(или столбец
)
будет заменена на строку
(или столбец
),
а строка
(столбец
)
остается неизменной.
Свойства элементарных преобразований.
1) Одно элементарное преобразование первого типа эквивалентно четырем элементарным преобразованиям второго и третьего типов.
◄ Пусть в матрице нужно поменять местами, например, строки и . Следующая цепочка элементарных преобразований второго и третьего типов приводит к результату
. ►
2) Элементарные преобразования обратимы, а обратные им преобразования являются элементарными преобразованиями того же самого типа, т.е. если матрица получена из матрицы с помощью элементарного преобразования, тогда матрица может быть получена из матрицы с помощью элементарного преобразования того же самого типа.
◄ Используя для обозначения обратных элементарных преобразований символ ( )-1 непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
,
.
►
3) Квадратная матрица называется элементарной, если она получена из единичной матрицы с помощью одного элементарного преобразования. Несмотря на то, что имеется шесть видов элементарных преобразований, три строчных и три столбцовых, видов элементарных матриц всего три, так как одна и та же элементарная матрица может быть получена как с помощью строчного так и с помощью столбцового элементарных преобразований.
◄ Действительно,
элементарные преобразования
и
порождают одну и ту же элементарную
матрицу
(1.17)
Элементарные
преобразования
и
порождают одну и ту же элементарную
матрицу
Наконец, элементарные
преобразования
и
порождают одну и туже элементарную
матрицу
►
4) элементарные матрицы обратимы, обратные им матрицы элементарны и порождаются элементарными преобразованиями, обратными исходным элементарным преобразованиям.
◄ Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что матрица вида (1.17) обратна самой себе, а матрицы
являются соответственно обратными матрицами матриц вида (1.18) и (1.19). ►
5) Пусть
.
Проведение
в матрице
одного строчного (столбцового)
элементарного преобразования равносильно
умножению этой матрицы слева (справа)
на элементарную матрицу порядка
(порядка
),
отвечающую этому элементарному
преобразованию.
◄ Ввиду свойства 1) элементарных преобразований в проверке нуждаются лишь элементарные преобразования второго и третьего типов. Предлагаем читателю показать самостоятельно, что умножение матрицы вида (1.1) на матрицы вида (1.18) и (1.19) слева равносильно проведению в матрице элементарных преобразований соответственно и , а умножение на матрицы указанного вида справа равносильно проведению в ней элементарных преобразований соответственно и . ►
Лекция IV.
План
1.11 Эквивалентные матрицы
1.12* Отношение эквивалентности