18. Кривые второго порядка. Определения, канонические уравнения и свойства.

Кривой второго порядка на плоскости называется множество точек, удовлетворяющих уравнению

(1)

В этом уравнении – заданные числа – параметры уравнения, для которых выполняется условие , - координаты точки на плоскости.

Уравнение (1) называют общим уравнением кривой второго порядка.

Различают три типа кривых второго порядка: эллиптический; гиперболический; параболический.

Как правило, кривые эллиптического типа – это окружности и эллипсы, кривые гиперболического типа – это гиперболы, а параболического типа – параболы.

Кроме этого, множество точек, удовлетворяющих уравнению (1), может оказаться пустым, состоять всего из одной точки, представлять собой две пересекающиеся прямые или даже одну прямую линию. Такие случаи называются вырожденными.

Примеры.

1. . Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению пустое.

2. . Множество точек состоит из одной точки .

3. . Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, представляет собой две пересекающиеся прямые линии: .

Остановимся более подробно на изучении свойств окружностей, эллипсов, гипербол и парабол.

Уравнение окружности

Окружность – это множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной заданной точки, называемой центром окружности.

В ведём систему координат так, чтобы начало координат совпадало с центром окружности. Выберем на окружности произвольную точку с координатами . Из определения окружности , где - расстояние от точек на окружности до центра. В координатной форме это условие примет вид:

.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим каноническое уравнение окружности: (2)

Если центр окружности расположить в точке с координатами , то уравнение окружности примет вид: (3)

Уравнение (3) является нормальным уравнением окружности. После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности:

, (4)

где , ,

.

Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности, задаваемой уравнением: . Построить эту окружность.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие и , и дополним каждую группу до полного квадрата суммы или разности: , или

Ответ: координаты центра , радиус .

Уравнение эллипса

Эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина. Обозначим её . Обозначим фокусы буквами и , расстояние между фокусами ( ), вершины эллипса буквами . Отрезки и называют большой и малой осями эллипса соответственно.

Введем систему координат, совместив начало координат с точкой пересечения осей 0, ось направим вдоль большой полуоси , а ось вдоль малой полуоси .

В такой системе координат уравнение эллипса примет вид:

, где , . (5)

Уравнение (5) называют каноническим уравнением эллипса. В этом уравнении ; ; ; фокусы эллипса имеют координаты и ,где . Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Е сли параллельным сдвигом центр эллипса разместить в точке с координатами , то уравнение эллипса примет вид:

. (6)

Пример 2. Найти координаты центра эллипса, величину большой и малой полуоси,

координаты фокусов, если эллипс задан уравнением

.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие и , и дополним каждую группу до полного квадрата суммы или разности:

.Перегруппируем выражения в скобках, выделив полный квадрат: ; . Разделив левую и правую части выражения на 36, получим каноническое уравнение эллипса: .

Ответ: координаты центра эллипса (1; -3), величина большой полуоси , малой полуоси

. Координаты фокусов: и .